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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0098
98
Friedrich Karl Schmidt :
R)c über <^.1) Sind 9Jc(1), 9Jl(k) irgend zwei dieser Körper, so wird eine
isomorphe Abbildung von ä)c(i) auf W(k), bei der die Elemente von $
einzeln fest bleiben, eine Transmutation2) von 9J!(i) über $ genannt.
Zwei Transmutationen Tx von äR(1) über V und T2 von 9)i(j) über St
sollen dann und nur dann als gleich angesehen werden, wenn
ist und jedem Element aus bei der Transmutation Tx dasselbe
Korrelat entspricht wie bei der Transmutation T2. Ist T eine Trans-
mutation von über ,Si, die auf 9Ük) abbildet, T' eine Trans-
mutation über St', durch die lDc(k) auf TR® bezogen wird, so erhält man
durch Zusammensetzung dieser Transmutationen eine Transmutation
TT über Ä, bei der TR® in TR(1) übergeht. Bei dieser Definition der
Verknüpfung bildet die Gesamtheit aller Transmutationen der Körper
TR(2), • . . über V ein Gruppoid T. Die verschiedenen Einheiten
dieses Gruppoids entsprechen eindeutig umkehrbar den verschiedenen
Körpern in der Reihe TR(1), TR(2), . . .; jede Einheit ist nämlich gleich
der identischen Abbildung eines solchen Körpers auf sich selbst.
Es entsteht nun die Frage, ob mit Hilfe des Gruppoids T Einblick
in die Struktur der Körper TR®, TR(2), . . . gewonnen werden kann.
Ehe wir an diese Frage herantreten, sei kurz an einige von Herrn E. Stei-
nitz3) herrührende Begriffsbildungen der abstrakten Körpertheorie
erinnert.
Über einem beliebigen Körper V können irreduzible Polynome mit
mehrfachen Nullstellen vorkommen, und zwar besitzt die in V irre-
duzible Gleichung
f(x) = xn + ax x11-1 -j- . . . 4~ an = 0
dann und nur dann mehrfache Wurzeln, wenn 1. der kleinste in V
enthaltene Unterkörper dem Restklassensystem nach einer Primzahl p
isomorph ist4), und 2. jeder in f(x) wirklich auftretende Exponent von
x durch diese Primzahl p teilbar ist.5) Sind diese Voraussetzungen er-
4) Genauer: „Konjugierte von 9Jc über V in 91“. Den Zusatz „in 91“ lassen
wir jedoch der Kürze wegen fort.
2) Vgl. A. Loewy, Heidelb. Sitzungsber. 1925, Abh. 7, S. 9. Dort wird der
Begriff der Transmutation mit Hilfe einer Kette von Elementen erklärt, die den
Körper 9)t über St' erzeugen. Siehe auch R. Dedekind, Vorlesungen über Zahlen-
theorie von Lejenne Dirichlet, 4. Aufl. S. 457, wo der Ausdruck Permutation eines
Körpers anstatt Transmutation benutzt wird.
3) E. Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, Journal f. d. r. u. a. Math.
137 (1910). Im folgenden mit „St.“ zitiert.
4) In diesem Falle schreibt man bekanntlich ß die Charakteristik p zu, s.
St. S. 181.
6j St. § 11, 13.
Friedrich Karl Schmidt :
R)c über <^.1) Sind 9Jc(1), 9Jl(k) irgend zwei dieser Körper, so wird eine
isomorphe Abbildung von ä)c(i) auf W(k), bei der die Elemente von $
einzeln fest bleiben, eine Transmutation2) von 9J!(i) über $ genannt.
Zwei Transmutationen Tx von äR(1) über V und T2 von 9)i(j) über St
sollen dann und nur dann als gleich angesehen werden, wenn
ist und jedem Element aus bei der Transmutation Tx dasselbe
Korrelat entspricht wie bei der Transmutation T2. Ist T eine Trans-
mutation von über ,Si, die auf 9Ük) abbildet, T' eine Trans-
mutation über St', durch die lDc(k) auf TR® bezogen wird, so erhält man
durch Zusammensetzung dieser Transmutationen eine Transmutation
TT über Ä, bei der TR® in TR(1) übergeht. Bei dieser Definition der
Verknüpfung bildet die Gesamtheit aller Transmutationen der Körper
TR(2), • . . über V ein Gruppoid T. Die verschiedenen Einheiten
dieses Gruppoids entsprechen eindeutig umkehrbar den verschiedenen
Körpern in der Reihe TR(1), TR(2), . . .; jede Einheit ist nämlich gleich
der identischen Abbildung eines solchen Körpers auf sich selbst.
Es entsteht nun die Frage, ob mit Hilfe des Gruppoids T Einblick
in die Struktur der Körper TR®, TR(2), . . . gewonnen werden kann.
Ehe wir an diese Frage herantreten, sei kurz an einige von Herrn E. Stei-
nitz3) herrührende Begriffsbildungen der abstrakten Körpertheorie
erinnert.
Über einem beliebigen Körper V können irreduzible Polynome mit
mehrfachen Nullstellen vorkommen, und zwar besitzt die in V irre-
duzible Gleichung
f(x) = xn + ax x11-1 -j- . . . 4~ an = 0
dann und nur dann mehrfache Wurzeln, wenn 1. der kleinste in V
enthaltene Unterkörper dem Restklassensystem nach einer Primzahl p
isomorph ist4), und 2. jeder in f(x) wirklich auftretende Exponent von
x durch diese Primzahl p teilbar ist.5) Sind diese Voraussetzungen er-
4) Genauer: „Konjugierte von 9Jc über V in 91“. Den Zusatz „in 91“ lassen
wir jedoch der Kürze wegen fort.
2) Vgl. A. Loewy, Heidelb. Sitzungsber. 1925, Abh. 7, S. 9. Dort wird der
Begriff der Transmutation mit Hilfe einer Kette von Elementen erklärt, die den
Körper 9)t über St' erzeugen. Siehe auch R. Dedekind, Vorlesungen über Zahlen-
theorie von Lejenne Dirichlet, 4. Aufl. S. 457, wo der Ausdruck Permutation eines
Körpers anstatt Transmutation benutzt wird.
3) E. Steinitz, Algebraische Theorie der Körper, Journal f. d. r. u. a. Math.
137 (1910). Im folgenden mit „St.“ zitiert.
4) In diesem Falle schreibt man bekanntlich ß die Charakteristik p zu, s.
St. S. 181.
6j St. § 11, 13.