Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Friedrich Karl Schmidt:

Ist & eine Gruppe und eine Untergruppe von ® der Art, daß das
Faktorgruppoid ®/($0 dem endlichen Gruppoid P isomorph ist, so wollen
wir von einer Gruppendarstellung des Gruppoids rreden. Jeder Zwischen-
gruppe § zwischen ® und ®0, d. h. jeder Gruppe die Untergruppe von
@5 und Obergruppe von ®0 ist, entspricht bei der Zerlegung nach ®0
ein Teilgruppoid H von F1, bei dem das Produkt aus Rang und Ordnung
ein Teiler des Produkts aus Rang und Ordnung von F ist; wir sagen,
dem Teilgruppoid H sei bei der Gruppendarstellung von P die
Zwischengruppe § zugeordnet. Ist H ein vollständiges Teilgruppoid,
so folgt aus dieser Zuordnung im allgemeinen nicht, daß auch die Faktor-
gruppoide P/2f und isomorph sind. Ist nämlich invariante Unter-
gruppe einer endlichen Gruppe ($, (ß0 invariante Untergruppe von
aber nicht invariant in Ql, so ist der Rang des Gruppoids P -
größer als 1. Der Zwischengruppe ö entspricht bei der Zerlegung nach
(ß0 eine Untergruppe I) von P, und es ist der Rang von P/f) mindestens
gleich dem von P, während eine Gruppe ist. Ferner gilt: Einem
Teilgruppoid ZT von F ist dann und nur dann bei jeder
Gruppendarstellung von P eine Zwischengruppe zugeordnet,
wenn Zf eine Gruppe ist oder mit P zusammenfällt. Das
„nur dann“ der Behauptung ergibt sich aus der auf S. 7 angegebenen
Gruppendarstellung; denn bei ihr bilden die Systeme $ derjenigen Kom-
plexe, die einem Teilgruppoid Zf von P zugeordnet sind, sicher keine
Gruppe, sobald Zf mehr als eine Einheit besitzt, aber nicht gleich P ist.
Das „dann“ dagegen folgt daraus, daß die einer Untergruppe zugeordneten
Komplexe und somit auch die in diesen Komplexen enthaltenen Elemente
sich bei Komposition stets reproduzieren. Man zeigt schließlich: Ist
P ein endliches Gruppoid, Zf ein vollständiges Teilgruppoid
von P, dessen Rang s weder gleich 2 noch gleich der Hälfte
des Ranges r von P ist, so gibt es stets eine Gruppen-
darstellung ®/®0 von P , bei der Zf eine Zwischengruppe
§ zugeordnet ist und überdies die Faktorgruppoide P/Zf
und ($/£) isomorph sind.
Sei E eine P und Zf gemeinsame Einheit, g bzw. 1) die Gruppe aller
E doppelt zugehörigen Elemente aus P bzw. Zf. Wir bilden ein Gruppoid
vom Rang s und der Ordnung 1 •*■) und bezeichnen seine Elemente durch
den Buchstaben A', ferner ein Gruppoid vom Rang - und der Ordnung 1
und geben dessen Elemente durch A wieder. Aus den Elementen A'
0 Ein solches Gruppoid kann man in der Tat bilden, indem man für s2 Ele-
mente von denen s Einheitselemente sein sollen, die Verknüpfungsregeln durch die
Kompositionstafel gibt.