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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0048
48
Heinrich Kapferer:
beiden Formen angibt, falls man jeden gemeinsamen
Punkt so oft zählt, als es jene vier Postulate implizite
erfordern.
Zusatz: Eine nur theoretische — sie erfordert nämlich Auf-
lösung von Gleichungen beliebigen Grades — Methode der Berechnung
der Multiplizitätszahlen liegt in den Vorschriften 1 bis 12 des § 3;
eine praktische Methode zur numerischen Berechnung findet sich
in § 11. Beide Methoden setzen vom Multiplizitätsbegriff nur soviel
voraus, als die 4 Postulate über ihn aussagen.
§ 7. Invarianz der Multiplizitätszahlen.
Durch die Transformation
x = ax x' ff yr -f- q V = L,
y c 2 T Z>2 y c2 ~ = -^2
£ = «3 xr 4- /,3 y' 4- c3 3’ = Lz
mit der Determinante
| ax \ q |
r = a-2 &2 c2 4 o
I a3 ^3 C3 i
möge irgendein Punkt P, definiert durch a?: = a : /? : y übergehen
in den Punkt Pf, definiert durch x': y': z' = a': ß’: Aus dem Formen-
paar ü(Xty;Z), V(x,y,z) möge U\x,,y,,z,), V\x^,y',zy geworden sein. Wir
behaupten, daß ohne Ausnahme gilt:
Satz: JPL(f(xyzß für P=FL(lj (x'y,z')i T (x'y'Z'ß für P.
Zunächst ist allgemein zu bemerken: Aus einem gemeinsamen
Punkt P von ü und V wird wieder ein gemeinsamer Punkt P’ von
U\x,y,z')> \x,y'z')', aus einem nicht gemeinsamen Punkt P von U(xyZ),
V\x,y,z) wird ein nicht gemeinsamer Punkt P' von U\X',y',z'^ V\x,,y',z')-
Dies gilt jedoch nicht mehr bei verschwindender Determinante r.
Wir erledigen zunächst den speziellen Fall, daß U und F zwei
lineare ternäre Formen L und L' in x, y, Z sind; hier folgt aus den
Vorschriften 1, 2, 3 und 6 leicht, daß (TL, P'} nur die Werte 0 und 1
annimmt, und zwar den Wert 0, wenn P gemeinsamer Punkt von L
und L', den Wert 1, wenn P nicht gemeinsamei' Punkt von L und
L' ist. Also (L, Lr) ist invariant.
Für den allgemeinen Fall benützen wir den grundlegenden Satz
aus § 3, nach welchem jedes Symbol (F, G} in eindeutiger Weise als
algebraische Summe von Symbolen der Art (Z, Zz) dargestellt werden
kann, und erinnern daran, daß die hierzu angegebenen Vorschriften als
Heinrich Kapferer:
beiden Formen angibt, falls man jeden gemeinsamen
Punkt so oft zählt, als es jene vier Postulate implizite
erfordern.
Zusatz: Eine nur theoretische — sie erfordert nämlich Auf-
lösung von Gleichungen beliebigen Grades — Methode der Berechnung
der Multiplizitätszahlen liegt in den Vorschriften 1 bis 12 des § 3;
eine praktische Methode zur numerischen Berechnung findet sich
in § 11. Beide Methoden setzen vom Multiplizitätsbegriff nur soviel
voraus, als die 4 Postulate über ihn aussagen.
§ 7. Invarianz der Multiplizitätszahlen.
Durch die Transformation
x = ax x' ff yr -f- q V = L,
y c 2 T Z>2 y c2 ~ = -^2
£ = «3 xr 4- /,3 y' 4- c3 3’ = Lz
mit der Determinante
| ax \ q |
r = a-2 &2 c2 4 o
I a3 ^3 C3 i
möge irgendein Punkt P, definiert durch a?: = a : /? : y übergehen
in den Punkt Pf, definiert durch x': y': z' = a': ß’: Aus dem Formen-
paar ü(Xty;Z), V(x,y,z) möge U\x,,y,,z,), V\x^,y',zy geworden sein. Wir
behaupten, daß ohne Ausnahme gilt:
Satz: JPL(f(xyzß für P=FL(lj (x'y,z')i T (x'y'Z'ß für P.
Zunächst ist allgemein zu bemerken: Aus einem gemeinsamen
Punkt P von ü und V wird wieder ein gemeinsamer Punkt P’ von
U\x,y,z')> \x,y'z')', aus einem nicht gemeinsamen Punkt P von U(xyZ),
V\x,y,z) wird ein nicht gemeinsamer Punkt P' von U\X',y',z'^ V\x,,y',z')-
Dies gilt jedoch nicht mehr bei verschwindender Determinante r.
Wir erledigen zunächst den speziellen Fall, daß U und F zwei
lineare ternäre Formen L und L' in x, y, Z sind; hier folgt aus den
Vorschriften 1, 2, 3 und 6 leicht, daß (TL, P'} nur die Werte 0 und 1
annimmt, und zwar den Wert 0, wenn P gemeinsamer Punkt von L
und L', den Wert 1, wenn P nicht gemeinsamei' Punkt von L und
L' ist. Also (L, Lr) ist invariant.
Für den allgemeinen Fall benützen wir den grundlegenden Satz
aus § 3, nach welchem jedes Symbol (F, G} in eindeutiger Weise als
algebraische Summe von Symbolen der Art (Z, Zz) dargestellt werden
kann, und erinnern daran, daß die hierzu angegebenen Vorschriften als