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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0045
Axiomatische Begründung des Bezoutschen Satzes.
45
Wir haben also nur noch den Fall zu untersuchen, daß/’2>o und
gleichzeitig (?z>o; hier reduzieren wir folgendermaßen:
1. Fall: /'z^l+.'/zi dann ist nach Vorschrift 11
(f, gL} = (f', gL)-fgL^gL} mitfz<Jz-,
(gL'')x bedeutet den Koeffizienten der höchsten Potenz von z in der
Form g • L.
2. Fall: fz < 1 + gz
a) fz = Uz’) hier darf man nach Satz 1 und nach dem schon be-
wiesenen Postulat IV an setzen
(AtfWA./) —(AA) für g' = fig-gxf, also g'z<fgz
b) fz <9z-, hier gilt nach 12:
(A 0^) = (A~ (A A) für g'=fig-z g„f.
Wir schließen nun folgendermaßen:
ad 1. Die Behauptung 6 ist bewiesen für fz=v, gz = w mit vFlA-w,
falls sie schon als richtig bewiesen ist für fzffv — 1, gz — w-, denn in
fz —(fz
diesem Falle folgt: ff', gL} = {f, g) +ff', L) mit f'= (jjL^-f—z fcgL
Subtrahiert man hiervon die Gleichung
((^)«> gL) = fgL)x, g^^gL)^ L),
so folgt mit Satz 1 die behauptete Relation.
ad 2. Die Behauptung G ist bewiesen für/’z=v, gz = w mit
falls sie schon bewiesen ist für fz — v. gzffw—i-, denn in diesem Falle folgt
9 z —fz
+ g’ -L) mit g'±=fig — z gKf
Subtrahiert man hiervon beiderseits ff, ff), so folgt, nach Satz 1 und
Postulat IV, die behauptete Relation.
Ergebnis: Das System der durch die Vorschriften des vorigen
§ 3 wohl definierten Zahlen fF, G) bedeutet eine Realisierung der
4 Postulate; also sind die Postulate in sich widerspruchslos.
§ 5. Das Postulatsystem ist kategorisch.
D. h. auch: Alle möglichen Realisierungen des Postulatsystems sind
untereinander isomorph. Der Nachweis wird sicher dann erbracht sein,
wenn man zeigen kann:
Jedesmal, wenn die vier Postulate erfüllt sind, so
werden die zwoIf Vorschriften des § 3 beweisbare Sätze.
Beweis: Vorschrift 1 ist in I enthalten; Vorschrift 2 ist in II
enthalten. Die Vorschriften 3 und 5 sind nur das Ergebnis wieder-
holter Anwendung von III. Vorschrift 4 und 6 sind direkte Folge-
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Wir haben also nur noch den Fall zu untersuchen, daß/’2>o und
gleichzeitig (?z>o; hier reduzieren wir folgendermaßen:
1. Fall: /'z^l+.'/zi dann ist nach Vorschrift 11
(f, gL} = (f', gL)-fgL^gL} mitfz<Jz-,
(gL'')x bedeutet den Koeffizienten der höchsten Potenz von z in der
Form g • L.
2. Fall: fz < 1 + gz
a) fz = Uz’) hier darf man nach Satz 1 und nach dem schon be-
wiesenen Postulat IV an setzen
(AtfWA./) —(AA) für g' = fig-gxf, also g'z<fgz
b) fz <9z-, hier gilt nach 12:
(A 0^) = (A~ (A A) für g'=fig-z g„f.
Wir schließen nun folgendermaßen:
ad 1. Die Behauptung 6 ist bewiesen für fz=v, gz = w mit vFlA-w,
falls sie schon als richtig bewiesen ist für fzffv — 1, gz — w-, denn in
fz —(fz
diesem Falle folgt: ff', gL} = {f, g) +ff', L) mit f'= (jjL^-f—z fcgL
Subtrahiert man hiervon die Gleichung
((^)«> gL) = fgL)x, g^^gL)^ L),
so folgt mit Satz 1 die behauptete Relation.
ad 2. Die Behauptung G ist bewiesen für/’z=v, gz = w mit
falls sie schon bewiesen ist für fz — v. gzffw—i-, denn in diesem Falle folgt
9 z —fz
+ g’ -L) mit g'±=fig — z gKf
Subtrahiert man hiervon beiderseits ff, ff), so folgt, nach Satz 1 und
Postulat IV, die behauptete Relation.
Ergebnis: Das System der durch die Vorschriften des vorigen
§ 3 wohl definierten Zahlen fF, G) bedeutet eine Realisierung der
4 Postulate; also sind die Postulate in sich widerspruchslos.
§ 5. Das Postulatsystem ist kategorisch.
D. h. auch: Alle möglichen Realisierungen des Postulatsystems sind
untereinander isomorph. Der Nachweis wird sicher dann erbracht sein,
wenn man zeigen kann:
Jedesmal, wenn die vier Postulate erfüllt sind, so
werden die zwoIf Vorschriften des § 3 beweisbare Sätze.
Beweis: Vorschrift 1 ist in I enthalten; Vorschrift 2 ist in II
enthalten. Die Vorschriften 3 und 5 sind nur das Ergebnis wieder-
holter Anwendung von III. Vorschrift 4 und 6 sind direkte Folge-