DOI Page / Citation link:
https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0044
44
Heinrich Kapferer:
Hilfssatz 5 C. (F, (/) = (F + tg, g) für fz < gz
Man definiere F' = F 4~ xm~n ■ g, so daß also Fz = gz wird.
Dann gilt noch Satz 5 b: {Ff g) = {F 4~t'g,g') für beliebige t' von
der Ordnung m—n, also auch insbesondere für tf = — xm~n und auch
für tr = t — xm~~n; daraus folgt sofort die Behauptung 5c.
Hilfssatz 5 d. (F, g) = (F+ tg, g) für fz )> gz.
Beweis durch vollständige Induktion von fz = gz-\-v auf
fz — 9z d~ 4~ 1- Es sei fz = gz fi- v -f- 1. Nach Satz 4 ist jedenfalls
(J7, g) = (F’, g) - (gy, g) mit F'z < fz.
Falls nun schon 5 d bewiesen ist für fz = gz-f-v, so bedeutet das
für F', daß (F', g) = (Ff + t'g, g) für bis auf die Ordnung beliebige t',
also auch für ein solches t', welches die Gleichung Ff -f-t' • g — gy- (F-\-tg)
fz~9z
erfüllt; eine solche Form t existiert; weil F’ = g%- F — z -Fig ist;
dann ist aber nach Satz 1
\F', 9) - {9x, 9)=(F-Y tg, g) q. e. d.
Setzt man in den Sätzen 5 b; 5 c, 5 d jeweils t = g0-T und Gr = g0- g,
so können wir zusarnmenfassend sagen: (F, Gf) — (F+ T- Grr-Gr), d. h.
Postulat IV ist erfüllt.
Der letzte Schritt im Beweis dafür, daß alle Postulate im Zahlen-
system (F, Gr) erfüllt sind, ist eine Ergänzung zu Satz 1, und zwar
der Nachweis, daß Postulat III auch dann erfüllt ist, wenn l eine lineare
binäre Form in x, z oder in y, z ist. Wir beweisen diese Tatsache in
der noch etwas allgemeineren Form (die wir in § 7 benötigen):
Hilfssatz 6. (F, G) + (F, Z) = (F, GZ),
wo Z eine ternäre lineare Form ax-f-by-f-cz ist. Es sei wieder
F = f0-f und G = g0-g, und Z eine lineare Form, die z wirklich
enthält. Wir befreien zunächst F und G von ihren binären Faktoren
in x, y gemäß Vorschrift 10:
(F, G) = {f0, g<f) + (fo, g) + (/\ gf) + (f, g)
(F, z) = (/”0, Z) q-^/’, Z)
(F, G Z) = (f0, gL) + (f, </Z) + (f0, g0) + (/, g0);
ferner gilt, als Folge aus den Vorschriften 3, 4 und 7:
(/'n, gL~) =(fo, g) + (fo, L);
also besagt Satz 6 nur noch, daß
z)=(/-,^z)
sein muß.
Im Falle fz = o oder gz — o reduziert sich vorstehende Gleichung
auf Relationen, die nach den Vorschriften 4 bis 9 richtig sind.
Heinrich Kapferer:
Hilfssatz 5 C. (F, (/) = (F + tg, g) für fz < gz
Man definiere F' = F 4~ xm~n ■ g, so daß also Fz = gz wird.
Dann gilt noch Satz 5 b: {Ff g) = {F 4~t'g,g') für beliebige t' von
der Ordnung m—n, also auch insbesondere für tf = — xm~n und auch
für tr = t — xm~~n; daraus folgt sofort die Behauptung 5c.
Hilfssatz 5 d. (F, g) = (F+ tg, g) für fz )> gz.
Beweis durch vollständige Induktion von fz = gz-\-v auf
fz — 9z d~ 4~ 1- Es sei fz = gz fi- v -f- 1. Nach Satz 4 ist jedenfalls
(J7, g) = (F’, g) - (gy, g) mit F'z < fz.
Falls nun schon 5 d bewiesen ist für fz = gz-f-v, so bedeutet das
für F', daß (F', g) = (Ff + t'g, g) für bis auf die Ordnung beliebige t',
also auch für ein solches t', welches die Gleichung Ff -f-t' • g — gy- (F-\-tg)
fz~9z
erfüllt; eine solche Form t existiert; weil F’ = g%- F — z -Fig ist;
dann ist aber nach Satz 1
\F', 9) - {9x, 9)=(F-Y tg, g) q. e. d.
Setzt man in den Sätzen 5 b; 5 c, 5 d jeweils t = g0-T und Gr = g0- g,
so können wir zusarnmenfassend sagen: (F, Gf) — (F+ T- Grr-Gr), d. h.
Postulat IV ist erfüllt.
Der letzte Schritt im Beweis dafür, daß alle Postulate im Zahlen-
system (F, Gr) erfüllt sind, ist eine Ergänzung zu Satz 1, und zwar
der Nachweis, daß Postulat III auch dann erfüllt ist, wenn l eine lineare
binäre Form in x, z oder in y, z ist. Wir beweisen diese Tatsache in
der noch etwas allgemeineren Form (die wir in § 7 benötigen):
Hilfssatz 6. (F, G) + (F, Z) = (F, GZ),
wo Z eine ternäre lineare Form ax-f-by-f-cz ist. Es sei wieder
F = f0-f und G = g0-g, und Z eine lineare Form, die z wirklich
enthält. Wir befreien zunächst F und G von ihren binären Faktoren
in x, y gemäß Vorschrift 10:
(F, G) = {f0, g<f) + (fo, g) + (/\ gf) + (f, g)
(F, z) = (/”0, Z) q-^/’, Z)
(F, G Z) = (f0, gL) + (f, </Z) + (f0, g0) + (/, g0);
ferner gilt, als Folge aus den Vorschriften 3, 4 und 7:
(/'n, gL~) =(fo, g) + (fo, L);
also besagt Satz 6 nur noch, daß
z)=(/-,^z)
sein muß.
Im Falle fz = o oder gz — o reduziert sich vorstehende Gleichung
auf Relationen, die nach den Vorschriften 4 bis 9 richtig sind.