Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Axiomatische Begründung des Bezoutschen Satzes.

43

nach Voraussetzung G durch a teilbar ist, also G(— — y, y, 0) bzw.
G (x, o, 0) identisch verschwinden, so folgt die Behauptung

Hilfssatz 4. Es sei F=f0-f und G=g0-g-, ferner fz^gz-,
dann gilt (F, g) = (F,' g) — (gK, g} für F' = f0-f', wo f die
' . fz~gz
Bedeutung von Vorschrift 11 hat, also f' =gKf—z
denn nach Satz 1 ist

(F, g~) = (f, g) + (A, g); (F/ g) = (f0, g) + (/\ g)-,
dadurch wird aber die behauptete Relation identisch mit derjenigen in
der Vorschrift 11.

In den folgenden Sätzen 5a bis 5d ist gemeinsame Voraussetzung:
Die Ordnung von F ist gleich oder größer als die von g; der Unter-
schied dieser Ordnungszahlen sei die Ordnung von t; t im übrigen
eine beliebige Form in x, y, 0.

Hilfssatz 5 a.

J (F,g) - (F+tg,g\
[ bei fz = gz und tz = 0.

denn nach Satz 4 ist (F, g} = (F,' g) - (^, g) für F' = f0- (gx f-fa g);
wegen fz — gz ist i = x, und wegen F =f0-f und Fi = f0- ft kann man
F' umformen zu F' = gt (F + tg) — (F; + tg?) g.

1. Fall: (F+^)z = #z; dann ist nach Vorschrift 11:
(F + tg, g) = (F,' g) — (gx, g), wo F' die vorige Gestalt hat.
2. Fall: (F F tg\ < gz, also Fi4-^^ = o absolut, dann wird
(F/ g) = (gx (F + gt), g), also nach Satz 1:
(F; g) = (gx, g)F(FF tg, g).

In beiden Unterfällen ist somit Behauptung 5a bewiesen.

Hilfssatz 5 b. (F,g) = (F + tg, g) für fz = gz bei beliebigen tz.
Beweis durch vollständige Induktion von tz= s auf ^ = s+l; es
sei nun tz = s + 1. Nach Satz 4 ist (F + tg, g) — (F',' g) — {gK, g~) für
F" = gy • (F+1 • (F + tg\g, wo (F + O)i den Koeffizienten
der höchsten Potenz von 0 in der Form F -\-tg bedeutet. Da nun
Fz <Z{F + tg}z ist, so ist F" = gy - F Ft'g mit t'z<F G- Setzt man
also 5 b als bewiesen voraus für fz = gz bei tz = s, so ist (F", g) -
• F, g\ also nach Satz 1
(Fffif)- (F,^) q. e. d.