Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen.

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£ = 1 annehmen. Tut man dies, so hat man die obengenannten [gewöhnlich als
„im Endlichen liegend“ bezeichneten] Schnittpunkte x — y = ß^ z — 1. Jedes-
mal, wenn £ = o ist, hat man einen „im Unendlichen“ liegenden Schnittpunkt
von tp (x, y, 1) = o, tp (x, y, 1) = o. Diesen zwei Klassen von Nullstellen ent-
sprechend zerlege ich H in zwei Teilprodukte:
s u. t u
U = niua^vß^w . 1P- n^a^ + vß^+Q)' *
i=l x—1
Die yi und werden bekanntlich erklärt als Multiplizität der betreffenden
Punkte als Schnittpunkte. Die Gesamtsumme derselben ist ausnahmslos
m. n. Setzt man nun in der für unbestimmte u, v, w geltenden Kongruenz
zh- R = o (<p, tp, ux + vy + wz)
u = — 1, v = o, w = x und 2 = 1, so wird ux + vy 4- wz = o identisch, und
[.l •
n(—ai + x') = o{fp(x,y,l), ip(x,y,l));
i x

analog ergibt die Substitution u — o, v = — 1, w = y und 2 = 1
U ■ U,„
n(-ßi+y) -nhß^ ' ^o((p(x,y,l), ip(x,y,l)).
i x

Wenn man also nur dafür sorgt, daß sämtliche ax und sämtliche ßx von o ver-
schieden sind, so ist Hilfssatz 1 schon bewiesen. Die letztgenannte Bedingung
ist aber leicht zu erreichen. Denn die zu x = x 4- vy', y = wx' + y' inverse
Substitution lautet

x'

vy — x , wx — y
vw — 1’ vw — 1 ’

also wird

v ß* — a* wax - ßx
--<—? ß' == -’
vw — 1 * VW— l

damit nun sämtliche a" und sämtliche ß' von o verschiedene Größen sind, hat
x r x
^X ß
man nur dafür zu sorgen, daß 1 -v-w 0 und ferner daß v =[ — und w —
ß X ax
ist, für x— 1,2, ...f. Man beachte, daß immer eine von zwei zusammen-
gehörigen Zahlen ax, ßK von selbst von Null verschieden ist, weil als dritte
Koordinate £=o angenommen worden war, sämtliche drei homogene Koordi-
naten eines Kurvenpunktes aber niemals gleichzeitig verschwinden können.

Beweis von Hilfssatz 2.

Es ist

a,-

Es sind also alle a'- unter sich

verschieden,

v t

wenn nur

alle ß'i unter sich verschieden,

wo i 4= i1, aber i und i'

wenn nur iv

^ßi-ßi

~ ; ferner sind
Pi - ßi

vßj~ai
vw — 1

alle Werte 1, 2 ... s durchlaufen. Man beachte, daß von je zwei Differenzen
ßi~ ßi' immer wenigstens eine von selbst von Null verschieden ist,
weil die Indizes i und i' zwei verschiedene Schnittpunkte andeuten sollen.

Beweis von Hilfssatz 3.

daß

Es ist r'p — rp + vsp; Qq = Qq-\-voq. Man hat also nur dafür zu sorgen,
, Qq-rp .
v 4: - ist; dann ist schon alles bewiesen.
sP~aS

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