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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0062
62
Heinrich Kapferer:
(la)
(lb)
zerlegen den Inhalt des Noether sehen Fundamentalsatzes in folgende
zwei getrennte Aussagen (zwei Existenzaussagen!):
Ers te Aussage:
Es existiert für jeden Schnittpunkt x = a, y = ß von zwei teiler-
fremden Polynomen <p (x, y), tp (x, y) eine (kleinste) natürliche
Zahl q, so daß der Modul (99, ip, p-) genau dieselbe Gesamt-
heit von Polynomen umfaßt wie der Modul (99, ip, pö), wo
p = (x—a, y—ß) und o eine beliebige q übersteigende natür-
liche Zahl bedeutet.1)
Bezeichnet man diese eindeutig bestimmte (begrifflich eindeutig,
obwohl g noch etwas Unbestimmtes ist) Gesamtheit von Polynomen
mit q („Primärideal“ q) bzw. mit qz, wenn es sich um den zten der s
Schnittpunkte x = ait y = ßif i= 1,2,... S handelt, so lautet die
zweite Aussage:
Notwendig und hinreichend dafür, daß K~o (tp, ip} ist, ist die
simultane Erfüllung der s Kongruenzen:
(qx); V=o(q2); ...K=o(qs).
Man erkennt hieraus, daß der Noether sehe Satz die Frage der
oben gestellten Aufgabe in so viel Teilfragen zerlegt, als es ver-
schiedene Schnittpunkte von 99 = 0, ip = o gibt, mit andern Worten:
Die Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen für
K = o (99, 97) ist reduziert auf die Frage nach den notwendigen und
hinreichenden Bedingungen für K~o (qj für i = 1, 2, . . . s. Die
letztere Frage ist aber unbeantwortet geblieben. Nur
eine hinreichende Bedingung für 7T= o (q), die aber nicht zugleich
notwendige Bedingung ist, ist bekannt und wird in der Literatur ver-
schiedentlich zitiert und angewandt, etwa in der Form:
Für das Bestehen der Kongruenz K=o(pp,ip') ist es hin-
reichend, daß jeder Schnittpunkt von 99 = 0, ip = 0 im Poly-
nom K in genügend hoher (aber unbestimmt gelassener!)
Vielfachheit vorkommt.
(2)
Dieser Satz (2) ist in (1) als Spezialfall enthalten; denn ein ^-facher
Punkt in K ist gleichbedeutend mit K=o (p-); dann ist a fortiori
auch K = o (<p, ip, p?); d. h. auch K=o (q). Ferner kennt man eine
explizite obere Schranke für den Minimal wert von q. Wenn näm-
2) Wenn A, B, ... Polynome in x, y sind, so verstehen wir unter dem Mo-
dul (M, B,...}, wie üblich, die Gesamtheit der Polynome, welche sich linear
und homogen durch A, B, ... darstellen lassen mit in x, y ganz rationalen Ko-
. effizienten. Als abgekürzte Bezeichnung für den speziellen Modul
((x-afi, (x-a^-^y-ß)1, (y - ßU)
benützen wir das Zeichen p-.
Heinrich Kapferer:
(la)
(lb)
zerlegen den Inhalt des Noether sehen Fundamentalsatzes in folgende
zwei getrennte Aussagen (zwei Existenzaussagen!):
Ers te Aussage:
Es existiert für jeden Schnittpunkt x = a, y = ß von zwei teiler-
fremden Polynomen <p (x, y), tp (x, y) eine (kleinste) natürliche
Zahl q, so daß der Modul (99, ip, p-) genau dieselbe Gesamt-
heit von Polynomen umfaßt wie der Modul (99, ip, pö), wo
p = (x—a, y—ß) und o eine beliebige q übersteigende natür-
liche Zahl bedeutet.1)
Bezeichnet man diese eindeutig bestimmte (begrifflich eindeutig,
obwohl g noch etwas Unbestimmtes ist) Gesamtheit von Polynomen
mit q („Primärideal“ q) bzw. mit qz, wenn es sich um den zten der s
Schnittpunkte x = ait y = ßif i= 1,2,... S handelt, so lautet die
zweite Aussage:
Notwendig und hinreichend dafür, daß K~o (tp, ip} ist, ist die
simultane Erfüllung der s Kongruenzen:
(qx); V=o(q2); ...K=o(qs).
Man erkennt hieraus, daß der Noether sehe Satz die Frage der
oben gestellten Aufgabe in so viel Teilfragen zerlegt, als es ver-
schiedene Schnittpunkte von 99 = 0, ip = o gibt, mit andern Worten:
Die Frage nach den notwendigen und hinreichenden Bedingungen für
K = o (99, 97) ist reduziert auf die Frage nach den notwendigen und
hinreichenden Bedingungen für K~o (qj für i = 1, 2, . . . s. Die
letztere Frage ist aber unbeantwortet geblieben. Nur
eine hinreichende Bedingung für 7T= o (q), die aber nicht zugleich
notwendige Bedingung ist, ist bekannt und wird in der Literatur ver-
schiedentlich zitiert und angewandt, etwa in der Form:
Für das Bestehen der Kongruenz K=o(pp,ip') ist es hin-
reichend, daß jeder Schnittpunkt von 99 = 0, ip = 0 im Poly-
nom K in genügend hoher (aber unbestimmt gelassener!)
Vielfachheit vorkommt.
(2)
Dieser Satz (2) ist in (1) als Spezialfall enthalten; denn ein ^-facher
Punkt in K ist gleichbedeutend mit K=o (p-); dann ist a fortiori
auch K = o (<p, ip, p?); d. h. auch K=o (q). Ferner kennt man eine
explizite obere Schranke für den Minimal wert von q. Wenn näm-
2) Wenn A, B, ... Polynome in x, y sind, so verstehen wir unter dem Mo-
dul (M, B,...}, wie üblich, die Gesamtheit der Polynome, welche sich linear
und homogen durch A, B, ... darstellen lassen mit in x, y ganz rationalen Ko-
. effizienten. Als abgekürzte Bezeichnung für den speziellen Modul
((x-afi, (x-a^-^y-ß)1, (y - ßU)
benützen wir das Zeichen p-.