Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Axiomatische Begründung des Bezoutschen Satzes. 51
mehr leistet als diejenige durch die Resultante. Wir definieren ein
neues Symbol M' (U, V) durch
>'(B,F) = J/(Z7',F/)
und behaupten:
Die Symbole F) erfüllen ebenfalls die vier Postulate.
Sobald dies erwiesen ist, gilt alles aus den Postulaten Abgeleitete
auch für die Symbole M', ohne daß größte gemeinsame Teiler bestimmt
oder entfernt werden müssen. Diese Tatsache hat nicht nur theo-
retisches Interesse, sondern wird sich bei, dem in § 11 zu besprechenden
Algorithmus zur numerischen Berechnung von Multiplizitätszahlen
überhaupt als sehr nützlich erweisen, selbst da, wo die beiden
Ausgangsformen unter sich teilerfremd sind.
ad I. Z') = o ist sicher noch richtig, wenn l und Z' einen
gemeinsamen Teiler haben, d. h. hier, wenn sie sich nur um eine Kon-
stante unterscheiden; denn dann ist definitionsgemäß Z') = -3/(1,1) —
hat also den Wert 0 gemäß Vorschrift 9.
ad II. _ZIF(Z, Zz)=l bleibt richtig, weil in II definitionsgemäß
nur ein einziger gemeinsamer Punkt vorhanden, also Z und Z' teiler-
fremd sind.
ad IV. Die Relation AP ( TL F) = M'(U L~tV, V) ist richtig, weil
sie äquivalent ist mit M(TJ', = M(U'V'); denn es ist wirklich
auch ü' teilerfremd zu V', weil ü' teilerfremd zu V.
ad III. Den Produktsatz III beweisen wir für die Symbole Ji'
gleich in seiner allgemeineren Form, die wir von der Mertens sehen
Resultante her kennen (§ 8), d. h. wir beweisen:
B) + >'(A, C) = AT (A, BC).
Dazu ein Hilfssatz1):
fP'CBFp ST2) = Jf(B, S),
wenn B und S teilerfremd, Tr und T2 beliebige Formen sind, die
nicht in P verschwinden.
Setzt man nun
A = A'D1; B = B'D2-, C=C'D3,
derart, daß PA der Faktor höchster Ordnung von A, der nicht in P
’) Denn wenn Ti — TiD; T2 = T2D, wo T7/ und T2 teilerfremd sind,
so ist definitionsgemäß ]\T(TiT. ST-i) = STA und nach III gleich
S) -f- JT(R, TA + M(TT, S) + Af( TT, TV). Die drei letztgenannten Symbole
haben aber einzeln den Wert 0. Damit ist der Hilfssatz bewiesen.
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