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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0093
Bemerkungen zum Brandtschen Gruppoid. 93
Alle Elemente eines Gruppoids F, die einer Einheit E links zugehören,
stellen nun gerade ein solches Elementesystem T dar, wie es Herr
A. Loewy als Ausgangspunkt wählt und das er als Mischgruppe bezeich-
net. Die der Einheit E doppelt zugehörigen Elemente bilden den Kern,
alle übrigen Elemente von T die Schale der Miscbgruppe T. Die beiden
Mischgruppen, die durch alle einer Einheit E bzw. einer zweiten Einheit
E' linkszugehörigen Elemente aus F geliefert werden, sind stets isomorph.1)
Die Mischgruppe wird von Herrn A. Loewy ohne Benutzung des Gruppoids
rein abstrakt definiert2), und es läßt sich dann umgekehrt jeder Misch-
gruppe eindeutig ein Gruppoid zuordnen. Schon bei der Erklärung der
Mischgruppe wird nämlich die Existenz gewisser nicht zur Mischgruppe
selbst gehöriger Elemente dieses Gruppoids gefordert, indem verlangt
wird, es gebe zu jedem Element T der Mischgruppe ein Element T-1,
so daß T. T—1 gleich dem Einheitselement des Kernes ist.3) Durch links-
seitige Multiplikation mit einem derartigen reziproken Element geht aus
der ursprünglichen Mischgruppe T wieder eine Mischgruppe T—1 T her-
vor 4) und die Gesamtheit der Elemente, die in irgendeiner dieser Misch-
gruppen vorkommen, bilden ein Gruppoid F. Jede der Mischgruppen
T—1 T besteht aus allen Elementen, die einer gewissen Einheit von F
links zugehören, und F ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, d. h.
ein Gruppoid, bei dem die Mischgruppe der einer Einheit links zugehörigen
Elemente zu der vorgelegten Mischgruppe T isomorph ist, ist stets zu
F isomorph.5)
Wegen der bis auf Isomorphie eindeutig umkehrbaren Beziehung
zwischen Gruppoid und Mischgruppe lassen sich die von Herrn H. Brandt
ausgesprochenen Sätze sofort auf Mischgruppen übertragen, und es haben
umgekehrt die weitergehenden Resultate des Herrn A. Loewy sinn-
gemäß für das Gruppoid Gültigkeit. In den folgenden Zeilen werde ich
mich ausschließlich auf das Gruppoid beschränken.
Ist g die Gruppe der einer Einheit E des Gruppoids F doppelt zu-
gehörigen Elemente, f) eine Untergruppe von g und bedeuten A, Az
irgend zwei Elemente mit der Linkseinheit E, so betrachte man alle
Zur Definition des Isomorphismus von Mischgruppen vgl. L., §2. Der oben
behauptete Isomorphismus ergibt sich, aus der A. § 2 angegebenen notwendigen
und hinreichenden Bedingung für den Isomorphismus von Mischgruppen, wenn
man die Bemerkungen in B., S. 362 unten, S. 363 oben, heranzieht.
2) L; § 1.
3) L., § 1, Postulat 3 und die zugehörige Fußnote.
4) L„ § 1, 7J.
5) Der Isomorphismus von Gruppoiden wird ganz entsprechend wie der
Isomorphismus von Mischgruppen erklärt ; vgl. die kurze Andeutung B. S. 363,
Z. 17-20.
Alle Elemente eines Gruppoids F, die einer Einheit E links zugehören,
stellen nun gerade ein solches Elementesystem T dar, wie es Herr
A. Loewy als Ausgangspunkt wählt und das er als Mischgruppe bezeich-
net. Die der Einheit E doppelt zugehörigen Elemente bilden den Kern,
alle übrigen Elemente von T die Schale der Miscbgruppe T. Die beiden
Mischgruppen, die durch alle einer Einheit E bzw. einer zweiten Einheit
E' linkszugehörigen Elemente aus F geliefert werden, sind stets isomorph.1)
Die Mischgruppe wird von Herrn A. Loewy ohne Benutzung des Gruppoids
rein abstrakt definiert2), und es läßt sich dann umgekehrt jeder Misch-
gruppe eindeutig ein Gruppoid zuordnen. Schon bei der Erklärung der
Mischgruppe wird nämlich die Existenz gewisser nicht zur Mischgruppe
selbst gehöriger Elemente dieses Gruppoids gefordert, indem verlangt
wird, es gebe zu jedem Element T der Mischgruppe ein Element T-1,
so daß T. T—1 gleich dem Einheitselement des Kernes ist.3) Durch links-
seitige Multiplikation mit einem derartigen reziproken Element geht aus
der ursprünglichen Mischgruppe T wieder eine Mischgruppe T—1 T her-
vor 4) und die Gesamtheit der Elemente, die in irgendeiner dieser Misch-
gruppen vorkommen, bilden ein Gruppoid F. Jede der Mischgruppen
T—1 T besteht aus allen Elementen, die einer gewissen Einheit von F
links zugehören, und F ist bis auf Isomorphie eindeutig bestimmt, d. h.
ein Gruppoid, bei dem die Mischgruppe der einer Einheit links zugehörigen
Elemente zu der vorgelegten Mischgruppe T isomorph ist, ist stets zu
F isomorph.5)
Wegen der bis auf Isomorphie eindeutig umkehrbaren Beziehung
zwischen Gruppoid und Mischgruppe lassen sich die von Herrn H. Brandt
ausgesprochenen Sätze sofort auf Mischgruppen übertragen, und es haben
umgekehrt die weitergehenden Resultate des Herrn A. Loewy sinn-
gemäß für das Gruppoid Gültigkeit. In den folgenden Zeilen werde ich
mich ausschließlich auf das Gruppoid beschränken.
Ist g die Gruppe der einer Einheit E des Gruppoids F doppelt zu-
gehörigen Elemente, f) eine Untergruppe von g und bedeuten A, Az
irgend zwei Elemente mit der Linkseinheit E, so betrachte man alle
Zur Definition des Isomorphismus von Mischgruppen vgl. L., §2. Der oben
behauptete Isomorphismus ergibt sich, aus der A. § 2 angegebenen notwendigen
und hinreichenden Bedingung für den Isomorphismus von Mischgruppen, wenn
man die Bemerkungen in B., S. 362 unten, S. 363 oben, heranzieht.
2) L; § 1.
3) L., § 1, Postulat 3 und die zugehörige Fußnote.
4) L„ § 1, 7J.
5) Der Isomorphismus von Gruppoiden wird ganz entsprechend wie der
Isomorphismus von Mischgruppen erklärt ; vgl. die kurze Andeutung B. S. 363,
Z. 17-20.