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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0067
Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen. ß7
angenommen werden darf, so folgt nach Hilfssatz 4, daß schon
A = o (cp, ip, pa)
ist. Da nun A als beliebiges Polynom aus (99, ip, p2^) definiert war,
so ist bewiesen, daß für beliebige o gilt
(99, p2^) = 0 (99, ip, pö)
Die Umkehrung aber
(99, ip, pö) = 0 (99, p2/z)
ist für o)>2/z in trivialer Weise richtig; also besteht für o^>2pi
Gleichheit; d. h. Relation (3) ist bewiesen. Diese aber ist der In-
halt des Satzes (la).
Um den zweiten Teil des Fundamentalsatzes, nämlich Satz (1b)
ebenfalls auf direktem Weg zu begründen, beweise ich folgenden
grundlegenden Satz:
Wenn A und B irgend zwei Polynome in x, y sind derart, daß
z war A • B = 0 (cp, ip}, aberBfo in sämtlichen Schnitt-
punkten x — a^ y = ßi von 99 = 0, ip = 0, so ist schon
A = 0 (cp, ip).
Zunächst ist wieder klar, daß das Bestehen oder Nichtbestehen der
Kongruenz A = o(cp, ip) unabhängig ist von einer linearen umkehr-
baren Transformation, der simultan A, B, cp, ip unterworfen werden.
Man darf also annehmen, daß 99, y schon so zubereitet sind, wie es
die Hilfssätze 1, 2, 3 verlangen. Auf das Polynompaar B, cp und auf
das Polynompaar B, ip wende man nun jeweils Hilfssatz 1 an. Dar-
nach darf man ansetzen:
(6) II(x'— rp) = • B 4-y±(p", II (x‘— oq) = AB-p u2ip
P q
Infolge der Voraussetzung A-B = o((p,ip) gilt a fortiori
A • B = 0 (cp, ip) und A- B • Ä2 = 0 (99, ip),
wo und I2 aus (6) entnommen sind. Die beiden letzten Kongruenzen
sind aber, wegen (6), äquivalent mit
(7) A-II(x'— rp) = o (<p, ip); B • 77 • (of — es) = o (99, y>)
P q
Nach Hilfssatz 3 sind die Produkte 77(af ~rß) und H(x' — q^
P Q.
unter sich teilerfremde Polynome in x . Es existieren also zwei ganze
rationale Funktionen v(x') und w(x') [durch Euklids Algorithmus des
größten gemeinsamen Teilers explizite erhältlich], so daß
V • II (%' — rp) + W • n{x' — Qq) = 1
p q
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angenommen werden darf, so folgt nach Hilfssatz 4, daß schon
A = o (cp, ip, pa)
ist. Da nun A als beliebiges Polynom aus (99, ip, p2^) definiert war,
so ist bewiesen, daß für beliebige o gilt
(99, p2^) = 0 (99, ip, pö)
Die Umkehrung aber
(99, ip, pö) = 0 (99, p2/z)
ist für o)>2/z in trivialer Weise richtig; also besteht für o^>2pi
Gleichheit; d. h. Relation (3) ist bewiesen. Diese aber ist der In-
halt des Satzes (la).
Um den zweiten Teil des Fundamentalsatzes, nämlich Satz (1b)
ebenfalls auf direktem Weg zu begründen, beweise ich folgenden
grundlegenden Satz:
Wenn A und B irgend zwei Polynome in x, y sind derart, daß
z war A • B = 0 (cp, ip}, aberBfo in sämtlichen Schnitt-
punkten x — a^ y = ßi von 99 = 0, ip = 0, so ist schon
A = 0 (cp, ip).
Zunächst ist wieder klar, daß das Bestehen oder Nichtbestehen der
Kongruenz A = o(cp, ip) unabhängig ist von einer linearen umkehr-
baren Transformation, der simultan A, B, cp, ip unterworfen werden.
Man darf also annehmen, daß 99, y schon so zubereitet sind, wie es
die Hilfssätze 1, 2, 3 verlangen. Auf das Polynompaar B, cp und auf
das Polynompaar B, ip wende man nun jeweils Hilfssatz 1 an. Dar-
nach darf man ansetzen:
(6) II(x'— rp) = • B 4-y±(p", II (x‘— oq) = AB-p u2ip
P q
Infolge der Voraussetzung A-B = o((p,ip) gilt a fortiori
A • B = 0 (cp, ip) und A- B • Ä2 = 0 (99, ip),
wo und I2 aus (6) entnommen sind. Die beiden letzten Kongruenzen
sind aber, wegen (6), äquivalent mit
(7) A-II(x'— rp) = o (<p, ip); B • 77 • (of — es) = o (99, y>)
P q
Nach Hilfssatz 3 sind die Produkte 77(af ~rß) und H(x' — q^
P Q.
unter sich teilerfremde Polynome in x . Es existieren also zwei ganze
rationale Funktionen v(x') und w(x') [durch Euklids Algorithmus des
größten gemeinsamen Teilers explizite erhältlich], so daß
V • II (%' — rp) + W • n{x' — Qq) = 1
p q
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