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https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0035
Axiomatische Begründung des Bezoutschen (Satzes. 35
II. Teil: Folgerungen.
A: Homogene Polynome.
§ 6. Der Bözoutsche Satz.
§ 7. Invarianz der Multiplizitätszahlen.
§ 8. Identität derselben mit der Mertens sehen Resultanten-
multiplizität.
§ 9. Multiplizitätsbegriff bei zwei nicht teilerfremden Formen.
B: Nicht homogene Polynome.
§ 10. Die Postulate I', II', HF, IVh
§ 11. Numerische Berechnung der Multiplizitätszahlen.
§ 12. Multiplizität im „einfachen“ Fall.
§ 13. Resultantenmultiplizität bei Liouville-Netto.
§ 14. Multiplizität bei Primäridealen.
§ 1. Die Postulate I, II, III, IV.
Man betrachte die Gesamtheit aller „Formen“ in x, y, das
heißt alle ganz rationalen homogenen Gebilde in 1 oder 2 oder 3 der
Variabein y, z mit beliebigen Koeffizienten, einschließlich der Ge-
bilde Oter Ordnung, also der von 0 verschiedenen Konstanten. Aus
den Elementen dieser Gesamtheit denke man sich alle möglichen
Paare U, V gebildet. Von diesen Formenpaaren sollen jedoch die-
jenigen außer Betracht bleiben, bei denen U und V einen noch von
Variabein abhängigen gemeinsamen Teiler besitzen. (In § 9 wird diese
Beschränkung wegfallen!) Die Gesamtheit der übrigbleibenden Formen-
paare sei
Jedes Formenpaar aus § bringen wir nun zu einem festgegebenen
Zahlentripela, ß, y / 0, 0, 0 in numerische Zuordnung. Wir ordnen
nämlich jedem Formenpaar U, V aus § eine von dem Zahlentripel
a, ß, y in einer noch zu erklärenden Weise eindeutig abhängige Zah]
F) zu und bezeichnen diese Zahl als Multiplizität des Zahlen-
tripels et, ß, y in bezug auf das Formenpaar U, V. Die Gesamtheit
dieser Zahlen Jf (?7, F) für dieses feste Zahlentripel sei $.
Wir behaupten, eine solche Gesamtheit $ von Zahlen ist
*) Als abgekürzte Bezeichnung für ein festes Zahlentripel a, ß, y J 0, 0, 0
benützen wir auch das bequeme Wort „Punkt“; dabei setzen wir, wie üblich,
fest, daß die Punkte a, ß, y und g>a, qß, <ry als einander gleich zu gelten
haben; q von 0 verschieden. Punkt a, ß, y heißt speziell „Nullpunkt“ des
Polynoms P (o?, y, z), wenn P (a, ß, y) = 0 ist. Ein Punkt X : y: z — a : ß : y heißt
mindestens A-facher Nullpunkt von P (x, y,z), bei Kß>l, falls er mindestens
(-K—l)facher Nullpunkt von sowohl als auch von als auch von ist.
ox Oy OZ
3*
II. Teil: Folgerungen.
A: Homogene Polynome.
§ 6. Der Bözoutsche Satz.
§ 7. Invarianz der Multiplizitätszahlen.
§ 8. Identität derselben mit der Mertens sehen Resultanten-
multiplizität.
§ 9. Multiplizitätsbegriff bei zwei nicht teilerfremden Formen.
B: Nicht homogene Polynome.
§ 10. Die Postulate I', II', HF, IVh
§ 11. Numerische Berechnung der Multiplizitätszahlen.
§ 12. Multiplizität im „einfachen“ Fall.
§ 13. Resultantenmultiplizität bei Liouville-Netto.
§ 14. Multiplizität bei Primäridealen.
§ 1. Die Postulate I, II, III, IV.
Man betrachte die Gesamtheit aller „Formen“ in x, y, das
heißt alle ganz rationalen homogenen Gebilde in 1 oder 2 oder 3 der
Variabein y, z mit beliebigen Koeffizienten, einschließlich der Ge-
bilde Oter Ordnung, also der von 0 verschiedenen Konstanten. Aus
den Elementen dieser Gesamtheit denke man sich alle möglichen
Paare U, V gebildet. Von diesen Formenpaaren sollen jedoch die-
jenigen außer Betracht bleiben, bei denen U und V einen noch von
Variabein abhängigen gemeinsamen Teiler besitzen. (In § 9 wird diese
Beschränkung wegfallen!) Die Gesamtheit der übrigbleibenden Formen-
paare sei
Jedes Formenpaar aus § bringen wir nun zu einem festgegebenen
Zahlentripela, ß, y / 0, 0, 0 in numerische Zuordnung. Wir ordnen
nämlich jedem Formenpaar U, V aus § eine von dem Zahlentripel
a, ß, y in einer noch zu erklärenden Weise eindeutig abhängige Zah]
F) zu und bezeichnen diese Zahl als Multiplizität des Zahlen-
tripels et, ß, y in bezug auf das Formenpaar U, V. Die Gesamtheit
dieser Zahlen Jf (?7, F) für dieses feste Zahlentripel sei $.
Wir behaupten, eine solche Gesamtheit $ von Zahlen ist
*) Als abgekürzte Bezeichnung für ein festes Zahlentripel a, ß, y J 0, 0, 0
benützen wir auch das bequeme Wort „Punkt“; dabei setzen wir, wie üblich,
fest, daß die Punkte a, ß, y und g>a, qß, <ry als einander gleich zu gelten
haben; q von 0 verschieden. Punkt a, ß, y heißt speziell „Nullpunkt“ des
Polynoms P (o?, y, z), wenn P (a, ß, y) = 0 ist. Ein Punkt X : y: z — a : ß : y heißt
mindestens A-facher Nullpunkt von P (x, y,z), bei Kß>l, falls er mindestens
(-K—l)facher Nullpunkt von sowohl als auch von als auch von ist.
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