Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Algebraische Theorie der differentiierbaren Funktionenkörper I. 23

Ist n = oo d. h. t in Hinsicht auf K und also auch auf A

transzendent und s = -=-und s' = 0, so ist o. B. d. A. bm = 1
2 m w)
4 = 0
und Zff und N (f) teilerfremd; dann ist wegen Illa und s'= 0:
Z0 = zay
N(t)~N(tf’
m -1
wenn N (f)' f 0 ist. Wegen V = 0 ist aber Nftf =2 da bm = 1;
i = 0
also könnten Z und N nicht teilerfremd sein.
Also ist N' = Z’ = 0, d. h. n. V. a/ = bf = 0, d. h. und bi sind
Elemente von K, d. h. s ist ein Element von K(f).

Satz 4: Seien A und A(t) DK mit K als CK.

1. Ist t in Hinsicht auf A algebraisch und a ein beliebiges im
DK A nichtintegrables Element aus A, so ist a auch nicht in
A (I) integrabel.x)

2. Ist t in Hinsicht auf A quasitranszendent rmd f Element von

A,
ist

so ist in Aff nichtintegrabel, wenn a in A nichtintegrabel

(für p = 0 sogar für alle a f 0 aus Af.

ad 1: Sei nämlich a ein Element aus A (tf aber nicht aus A,
+ • • • + = 0 die Gl. niedersten Grades, der a in A
genügt, und a = a, wo a ein nichtintegrables Element aus A ist; dann
folgt durch Ableiten:

nan~1 af + ... + a1a + a n_x cd1-1 + ... -f- af = 0;
da a — a von a frei ist, so folgt: na = —a'n_v d- h- a = > —~1
\ n
im Widerspruch mit unserer Annahme.

ad 2: Sei zunächst p =f 0.
c 4 0 Element aus E ist.

Wegen VI ist dann = ca tv~1, wo

p-i
Sei s a^ tl und s=cat'p~l-, dann wäre:
i=o
y — 1 p ~ 2
ca I?-1 =2 af t!-^t' (^+ 1) a4+i^S
4= 0 4 = 0
also wegen der Quasitranszendenz von t

T) Wegen Via ist also p = 0 anzunehmen.