Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Reinhold Baer :


im Widerspruch mit unserer Annahme über a.
Ist aber p = 0 und
£ m

2 «i t‘ z ( f)

2 «* Nw
i = O


mit s/ = t, so folgt aus Illa:



Da auf der rechten Seite unserer Gl. t stets wenigstens in der
1. Potenz auftritt, so muß bQ = 0 sein, da ja a f 0 ist. Sei überdies:
b0 = = ... = G; = 0;
dann ist links die niedrigste auftretende Potenz von t die 2 • (Z?1)-te,
rechts aber die (Ä-{-l)-te; da aber k + 1 <C 2 (k + 1) für & > 0 ist, so
muß der Koeffizient der fk + l)-ten Potenz von t verschwinden, d.h.:
aot' (^+1) blc + 1 = 0. Wäre a0 = 0, so wären Zff und N(f) nicht teiler-
fremd gewesen, t' kann wegen I nicht Null sein, also muß, da /v>0
ist, &fc + 1=0 sein; daraus folgt aber durch vollständige Induktion, daß
alle == 0 sind, was unmöglich ist.
Zusatz: Ist unter den Voraussetzungen des Satzes 4, 2 s'— , so ist s
in Hinsicht auf A(f) guasitranszendent.f
Aus Satz 4,2 folgt nämlich, daß in A (ff nicht integrabel ist,
aus Satz 4, 1 also, daß es in keiner algebraischen Erweiterung von
A(Y) integrabel ist.

§ 3. Die Existenzbedingungen.
Satz 5: Dann und nur dann ist in A wenigstens eine Ableitungs-
definition möglich, derart daß der Körper A ein DK mit einem
vorgegebenen Unterkörper K von A als CK wenn
1. alle in Hinsicht auf K algebraischen Elemente aus A in
K enthalten sind, falls p = 0 ist,
x) s ist gewissermaßen log t, d. h. unser Zusatz liefert eine Art Transzen-
denzbeweis für den Logarithmus gewisser Funktionen.