DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43535#0095
Bemerkungen zum Brandtschen Gruppoid.
95
denn jedes Gruppoid, zu dem man auf dem eben beschriebenen Wege
gelangt, ist zu F' isomorph. Im Falle H = f) kommt Fr auf das Faktor-
gruppoid r/^ hinaus, F soll daher allgemein als Faktorgruppoid FjH
von F nach H bezeichnet werden. Aus der von Herrn H. Brandt an-
gegebenen Kompositionstafel des Gruppoids F erhält man für das Faktor-
gruppoid r;H eine entsprechende Darstellung, wie sie Herr H. Brandt
für das Gruppoid U/f) anführt.x) Nach geeigneter Permutation von Zeilen
und Spalten läßt sich die Kompositionstafel in quadratische Unter-
bezirke einteilen, von denen jeder gerade alle Elemente eines Komplexes
aus r umfaßt; diese Einteilung in Unterbezirke kann dann wieder als
Kompositionstafel für F angesehen werden.
Ist (b eine Gruppe, (b0 c“ine Untergruppe von G, so bilden die Kom-
plexe A—1 (b0 A' im allgemeinen nicht mehr eine Gruppe, sondern ein
Gruppoid, und man kann also durch Bildung des Faktorgruppoids von
der Gruppe her zum Gruppoid gelangen. Umgekehrt läßt sich jedem
endlichen Gruppoid U mit einer Ausnahme stets eine Gruppe (b und eine
Untergruppe (b0 von (b so zuordnen, daß F dem Faktorgruppoid von (b
nach (b0 isomorph ist.* 2) Die erwähnte Ausnahme betrifft den trivialen
Fall, daß F den Rang 2 und die Ordnung 1 besitzt. In jedem anderen
Fall lassen sich die Elemente einer solchen zugeordneten Gruppe leicht
mit Hilfe der Elemente des Gruppoids F hinschreiben. Seien E1; E2, . . .
Er die sämtlichen verschiedenen Einheiten von F, so betrachten wir
alle Systeme von je r Elementen {Ala , A2a , . . ., Arctr} aus F, bei
denen Ajja die Linkseinheit Ek und die Rechtseinheit E„k besitzt und
a15 a2, . . ., ar die Zahlen 1, 2, . . ., r in irgendeiner Reihenfolge bedeuten.
Zwei derartige Systeme sollen gleich heißen ,wenn ihre einzelnen Kompo-
nenten gleich sind. Sind S = {Ala , A2«2, . . . Arctr} und S' — {B-^,
B2/?p ••• Br£r} irgend zwei Systeme und ist J’2,’jJr) -
Cq, 7 )’ so verstehen wir unter SS' das System Ax B
^raT- Ba y }• Hinsichtlich der so definierten Multiplikation bilden
die betrachteten Systeme eine Gruppe (b und, das Faktorgruppoid dieser
Gruppe nach der Untergruppe (b0 aller Systeme, bei denen die erste
Komponente gleich Ex ist, ist zu F isomorph. Dies erkennt man, indem
man jedem Element A mit der Linkseinheit Ek aus F den Komplex
aller Systeme zuordnet, bei denen die Ue Komponente gleich A ist.3)
0 B., S. 366.
2) Vgl. L., § 5, Satz 3.
3) Herr A. Loewy benutzt in seiner Arbeit dieselbe Gruppe &, die er jedoch
als Permutationsgruppe einführt.
95
denn jedes Gruppoid, zu dem man auf dem eben beschriebenen Wege
gelangt, ist zu F' isomorph. Im Falle H = f) kommt Fr auf das Faktor-
gruppoid r/^ hinaus, F soll daher allgemein als Faktorgruppoid FjH
von F nach H bezeichnet werden. Aus der von Herrn H. Brandt an-
gegebenen Kompositionstafel des Gruppoids F erhält man für das Faktor-
gruppoid r;H eine entsprechende Darstellung, wie sie Herr H. Brandt
für das Gruppoid U/f) anführt.x) Nach geeigneter Permutation von Zeilen
und Spalten läßt sich die Kompositionstafel in quadratische Unter-
bezirke einteilen, von denen jeder gerade alle Elemente eines Komplexes
aus r umfaßt; diese Einteilung in Unterbezirke kann dann wieder als
Kompositionstafel für F angesehen werden.
Ist (b eine Gruppe, (b0 c“ine Untergruppe von G, so bilden die Kom-
plexe A—1 (b0 A' im allgemeinen nicht mehr eine Gruppe, sondern ein
Gruppoid, und man kann also durch Bildung des Faktorgruppoids von
der Gruppe her zum Gruppoid gelangen. Umgekehrt läßt sich jedem
endlichen Gruppoid U mit einer Ausnahme stets eine Gruppe (b und eine
Untergruppe (b0 von (b so zuordnen, daß F dem Faktorgruppoid von (b
nach (b0 isomorph ist.* 2) Die erwähnte Ausnahme betrifft den trivialen
Fall, daß F den Rang 2 und die Ordnung 1 besitzt. In jedem anderen
Fall lassen sich die Elemente einer solchen zugeordneten Gruppe leicht
mit Hilfe der Elemente des Gruppoids F hinschreiben. Seien E1; E2, . . .
Er die sämtlichen verschiedenen Einheiten von F, so betrachten wir
alle Systeme von je r Elementen {Ala , A2a , . . ., Arctr} aus F, bei
denen Ajja die Linkseinheit Ek und die Rechtseinheit E„k besitzt und
a15 a2, . . ., ar die Zahlen 1, 2, . . ., r in irgendeiner Reihenfolge bedeuten.
Zwei derartige Systeme sollen gleich heißen ,wenn ihre einzelnen Kompo-
nenten gleich sind. Sind S = {Ala , A2«2, . . . Arctr} und S' — {B-^,
B2/?p ••• Br£r} irgend zwei Systeme und ist J’2,’jJr) -
Cq, 7 )’ so verstehen wir unter SS' das System Ax B
^raT- Ba y }• Hinsichtlich der so definierten Multiplikation bilden
die betrachteten Systeme eine Gruppe (b und, das Faktorgruppoid dieser
Gruppe nach der Untergruppe (b0 aller Systeme, bei denen die erste
Komponente gleich Ex ist, ist zu F isomorph. Dies erkennt man, indem
man jedem Element A mit der Linkseinheit Ek aus F den Komplex
aller Systeme zuordnet, bei denen die Ue Komponente gleich A ist.3)
0 B., S. 366.
2) Vgl. L., § 5, Satz 3.
3) Herr A. Loewy benutzt in seiner Arbeit dieselbe Gruppe &, die er jedoch
als Permutationsgruppe einführt.