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https://doi.org/10.11588/diglit.43547#0006
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Reinhold Baer:
aus M* und S die Klasse von 9k nach 11, in die U durch Uax übergeführt
wird; dann wird Y durch x gerade in S übergeführt, womit unser Satz
bewiesen ist.
Satz 2: Liegt eine gruppentheoretische Zerlegung von 9k nach 11
vor, und ist Y eine Klasse nach II aus dieser Zerlegung, K eine nach dem
Kern M von 9k1), so ist
K Y entweder leer
oder genau eine Klasse nach
Ist nämlich speziell Y = 11, so folgt unser Satz aus Satz 3 des § 1
von Mg, da ja 11 eine Untermischgruppe ist.
Ist aber Y beliebig, so folgt unser Satz daraus, daß M* transitiv ist,
es also eine Abbildung in M* gibt, bei der 11 in Y und Ä in K übergeht.
Definition I: Liege eine Aufteilung von 9k in untereinander fremde
Klassen vor, von denen eine die Untermischgruppe 11 selbst ist; wir nennen
diese eine Zerlegung von 9k in Klassen nach 11, wenn für jede Klasse Y
dieser Aufteilung und jede Klasse K von iffl nach ft' gilt:
Y^K ist entweder leer
oder genau eine Klasse nach ft ^11, in der Y und K „inzidieren“.
Eine ähnliche Abbildung von 9k auf sich heißt kongruent rücksicht-
lich einer vor gelegten Zerlegung von 9k nach 11, wenn bei ihr Klassen nach
ll in Klassen nach U übergehen.
Dann besagt also der Satz 2, daß jede gruppentheoretische Zerlegung
auch eine Zerlegung im Sinne der Definition 1 ist, und der Satz 1, daß
die Gruppe M* ähnlicher Abbildungen, in der die gruppentheoretische
Zerlegung von 9k nach 11 realisiert wird, eine Gruppe hinsichtlich dieser
Zerlegung kongruenter Abbildungen ist.
Satz 3 : Eine Zerlegung von 9k in Klassen nach 11 ist dann und nur
dann eine gruppentheoretische, wenn sie in der Gruppe A aller hinsichtlich
dieser Zerlegung kongruenten Abbildungen realisiert werden kann.
Es ist nur die Notwendigkeit dieser Bedingung zu zeigen.
a) Sei A* eine Realisierung, U* die zu II konforme Untergruppe von
A*, die zu dieser Realisierung gehört. Nach Satz 1 ist A* Untergruppe
von A, also A*^E Untergruppe von A<>E. Mit A* ist also auch A
transitiv; mit A* E erfüllt ebenso auch A E die Bedingung des
Satz 5 des § 2 von Mg; also ist mit A* auch AzuA'c konform.
b) U ist die Untergruppe aller und nur der Elemente aus A, bei denen
die Identität aus 9k in Elemente aus 11, also nach der Definition von A
]) Diese Zerlegung von 9R nach ft bzw. einer Untergruppe von ft ist durch
Satz 1 des § I von Mg eindeutig bestimmt,
Reinhold Baer:
aus M* und S die Klasse von 9k nach 11, in die U durch Uax übergeführt
wird; dann wird Y durch x gerade in S übergeführt, womit unser Satz
bewiesen ist.
Satz 2: Liegt eine gruppentheoretische Zerlegung von 9k nach 11
vor, und ist Y eine Klasse nach II aus dieser Zerlegung, K eine nach dem
Kern M von 9k1), so ist
K Y entweder leer
oder genau eine Klasse nach
Ist nämlich speziell Y = 11, so folgt unser Satz aus Satz 3 des § 1
von Mg, da ja 11 eine Untermischgruppe ist.
Ist aber Y beliebig, so folgt unser Satz daraus, daß M* transitiv ist,
es also eine Abbildung in M* gibt, bei der 11 in Y und Ä in K übergeht.
Definition I: Liege eine Aufteilung von 9k in untereinander fremde
Klassen vor, von denen eine die Untermischgruppe 11 selbst ist; wir nennen
diese eine Zerlegung von 9k in Klassen nach 11, wenn für jede Klasse Y
dieser Aufteilung und jede Klasse K von iffl nach ft' gilt:
Y^K ist entweder leer
oder genau eine Klasse nach ft ^11, in der Y und K „inzidieren“.
Eine ähnliche Abbildung von 9k auf sich heißt kongruent rücksicht-
lich einer vor gelegten Zerlegung von 9k nach 11, wenn bei ihr Klassen nach
ll in Klassen nach U übergehen.
Dann besagt also der Satz 2, daß jede gruppentheoretische Zerlegung
auch eine Zerlegung im Sinne der Definition 1 ist, und der Satz 1, daß
die Gruppe M* ähnlicher Abbildungen, in der die gruppentheoretische
Zerlegung von 9k nach 11 realisiert wird, eine Gruppe hinsichtlich dieser
Zerlegung kongruenter Abbildungen ist.
Satz 3 : Eine Zerlegung von 9k in Klassen nach 11 ist dann und nur
dann eine gruppentheoretische, wenn sie in der Gruppe A aller hinsichtlich
dieser Zerlegung kongruenten Abbildungen realisiert werden kann.
Es ist nur die Notwendigkeit dieser Bedingung zu zeigen.
a) Sei A* eine Realisierung, U* die zu II konforme Untergruppe von
A*, die zu dieser Realisierung gehört. Nach Satz 1 ist A* Untergruppe
von A, also A*^E Untergruppe von A<>E. Mit A* ist also auch A
transitiv; mit A* E erfüllt ebenso auch A E die Bedingung des
Satz 5 des § 2 von Mg; also ist mit A* auch AzuA'c konform.
b) U ist die Untergruppe aller und nur der Elemente aus A, bei denen
die Identität aus 9k in Elemente aus 11, also nach der Definition von A
]) Diese Zerlegung von 9R nach ft bzw. einer Untergruppe von ft ist durch
Satz 1 des § I von Mg eindeutig bestimmt,