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https://doi.org/10.11588/diglit.43547#0008
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Reinhold Baer :
aä (i = 1, 2) zwei Elemente von M, so daß ax = ua2 mit u g U gilt.
Es führe aj die Identität von 9k in Uj und u sie in u g 11 über; notwendig
führt a2 auch u in a1 über; aus der Ähnlichkeit dieser Abbildungen folgt,
daß u bei a2 in ua2 übergeht (wegen ue®); also ist
ax — u a2,
d. h. Elemente, die gemäß unserer Realisierung zur gleichen Klasse
gehören, tun dies auch nach Satz 1 des § 1 von Mg.
Sei umgekehrt ax = ua2 mit u g IX; führe aj (i = 1,2) die Identität
in Uj und u g U sie in u über. Dann folgt aus der Ähnlichkeit dieser
Abbildungen und aus u s ft, daß u durch a2 in ua2 = ax übergeführt
wird; also geht die Identität durch ua2 in ax über, wie dies auch ax
bewirkt; also ist: ax = eua2, wo egE gilt, d. h. ax — u' a2 mit
u' g U; Elemente, die nach Satz 1 des § 1 von Mg zur- gleichen Klasse
gehören, tun dies also auch gemäß unserer Realisierung.
Ebenso beweist man den
Zusatz : Ist M* eine zu 9k konforme Untergruppe von M, U die
Untergruppe des Satzes 4, so realisiert M*, M* U die Zerlegung von
9k nach 11 gemäß Satz 1 des § 1 von Mg.
Satz 5 : Wenn 11 nicht in ft enthalten ist, so ist die Bedingung 3
von (Z) gewiß nicht für die Gruppe M aller ähnlichen Abbildungen von
9k auf sich erfüllt.
Sei nämlich U die Untergruppe aller und nur der Elemente von M,
bei denen 11 in sich übergeht und sei u g 11, aber u $ ft; weiter sei u $ U
und a $ ft.
Dann gibt es ein ugU, das die Identität in u überführt, ein eeE,
das die Identität in sich, aber u in a überführt; also ist e $ U, d. h.
U-E + E = M-E.
Zusatz: Dann und nur dann läßt sich in jeder Darstellung von
eine Zerlegung nach der echten Untermischgruppe 11 von 9k realisieren,
wenn 11 eine Untergruppe des Kernes ft von 9k ist.1)
Dies folgt aus Satz 5 und dem Zusatz zu Satz 4.
Definition 2 : Zwei Zerlegungen von 9k nach 11 im Sinne der De-
finition 1 heißen dann und nur dann isomorph, wenn es einen Isomor-
phismus von 9k auf sich gibt, bei dem
1. 11 in sich übergeht und
2. eine jede Klasse nach IX der ersten Zerlegung in genau eine Klasse
nach IX der zweiten Zerlegung übergeht.
) cf. F. K. Schmidt 1. c. p. 96.
Reinhold Baer :
aä (i = 1, 2) zwei Elemente von M, so daß ax = ua2 mit u g U gilt.
Es führe aj die Identität von 9k in Uj und u sie in u g 11 über; notwendig
führt a2 auch u in a1 über; aus der Ähnlichkeit dieser Abbildungen folgt,
daß u bei a2 in ua2 übergeht (wegen ue®); also ist
ax — u a2,
d. h. Elemente, die gemäß unserer Realisierung zur gleichen Klasse
gehören, tun dies auch nach Satz 1 des § 1 von Mg.
Sei umgekehrt ax = ua2 mit u g IX; führe aj (i = 1,2) die Identität
in Uj und u g U sie in u über. Dann folgt aus der Ähnlichkeit dieser
Abbildungen und aus u s ft, daß u durch a2 in ua2 = ax übergeführt
wird; also geht die Identität durch ua2 in ax über, wie dies auch ax
bewirkt; also ist: ax = eua2, wo egE gilt, d. h. ax — u' a2 mit
u' g U; Elemente, die nach Satz 1 des § 1 von Mg zur- gleichen Klasse
gehören, tun dies also auch gemäß unserer Realisierung.
Ebenso beweist man den
Zusatz : Ist M* eine zu 9k konforme Untergruppe von M, U die
Untergruppe des Satzes 4, so realisiert M*, M* U die Zerlegung von
9k nach 11 gemäß Satz 1 des § 1 von Mg.
Satz 5 : Wenn 11 nicht in ft enthalten ist, so ist die Bedingung 3
von (Z) gewiß nicht für die Gruppe M aller ähnlichen Abbildungen von
9k auf sich erfüllt.
Sei nämlich U die Untergruppe aller und nur der Elemente von M,
bei denen 11 in sich übergeht und sei u g 11, aber u $ ft; weiter sei u $ U
und a $ ft.
Dann gibt es ein ugU, das die Identität in u überführt, ein eeE,
das die Identität in sich, aber u in a überführt; also ist e $ U, d. h.
U-E + E = M-E.
Zusatz: Dann und nur dann läßt sich in jeder Darstellung von
eine Zerlegung nach der echten Untermischgruppe 11 von 9k realisieren,
wenn 11 eine Untergruppe des Kernes ft von 9k ist.1)
Dies folgt aus Satz 5 und dem Zusatz zu Satz 4.
Definition 2 : Zwei Zerlegungen von 9k nach 11 im Sinne der De-
finition 1 heißen dann und nur dann isomorph, wenn es einen Isomor-
phismus von 9k auf sich gibt, bei dem
1. 11 in sich übergeht und
2. eine jede Klasse nach IX der ersten Zerlegung in genau eine Klasse
nach IX der zweiten Zerlegung übergeht.
) cf. F. K. Schmidt 1. c. p. 96.