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https://doi.org/10.11588/diglit.43547#0010
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R EINHOLD BäEk!
in a s 902 übergehen soll; weiter seiA St eine beliebige Klasse aus Zf, Y eine — etwa
die in einer Wohlordnung der Y erste — mit K inzidierende Klasse, K', Y' ihre Bild-
klassen bei ä; sei e eK-F und e' £ K'><Y' beliebig; bei a soll e'das Bild von e sein.
Ist jetzt 27j = -W 80 i8^ damit a auch für 272 festgelegt; ist 27j h 272, so werde
a für 272 so festgelegt, daß die Identität auch das Bild von a und e das Bild von ez sei.
Für die von 27i (i = 1, 2) verschiedenen 27 sei a als identische Abbildung fest-
gelegt.
Daß a nicht nur für die ausgewählten Klassen Y, Y' die Abbildung ä realisiert,
sondern für alle Klassen aus 27j, folgt daraus, daß ä den Bedingungen 1. —3. genügt,
insbesondere 3, die in etwas 1, 2 umfaßt. Aus unserem Satz folgt leicht:
Zusatz 1: Die Menge der Klassen nach St bzw. II bzw. St' - II, die in einem voll-
ständigen, zusammenhängenden System auftreten, ist gleichmächtig den entsprechenden
Mengen in jedem andern vollständigen, zusammenhängenden System1).
Zusatz 2: Ist Y bzw. K eine beliebige Klasse nach U 6zw. so ist
die Menge der Klassen nach St - IX, die in Y bzw. K auftreten, gleich-
mächtig der Menge der Klassen nach .St — IX, die in U bzw. St auftreten1).
Zusatz 3 : Die Menge der Elemente von Y bzw. K ist gleichmächtig der
Menge der Elemente von IX bzw. ®1).
Satz 2 : Dann und nur dann gibt es eine kongruente Abbildung
a f 1, bei der
eine Klasse K nach St’ und jede mit ihr inzidierende Klasse nach XX,
jedoch nicht identisch, in sich übergehen,
wenn St-XX einen von der Identität verschiedenen Normalteiler von
® enthält.
A. Sei K = Ä’j; gibt es ein a, das den Bedingungen des Satzes
genügt, so geht hierbei St £ in mit t0 £ Ä, aber fo + h speziell
also £ in über. Dabei geht (.St —II) f j in (ft-Il) ftoj überundes
soll (St-ll) fj =. (St-IX) ff0 j sein; also muß
(St -IX) I = (St-IX) Ho = (St-IX) (f fof-1) f oder
U = (W-II) (HoD1), d. h.
f f0 Y1 £ St-IX für alle t e St’ sein.
B. Enthält St-IX einen von der Identität verschiedenen Normal-
teiler von so gibt es ein Element f0 e XX, f0 4= 1? so daß für alle
!e®gllt: f^r^STU.
Wir bestimmen dann a gemäß Zusatz 3 des Satz 1 des § 2 von Mg so,
daß, wenn K = & % ist, j in f0 j übergeht, während a in allen andern
Klassen nach St die identische Abbildung liefert. Wegen
(®-xx) «f0 s = (ä-ix) («t0 -
= (St-IX) f £
erfüllt dann a die Bedingungen des Satzes.
*) Vorausgesetzt, daß A hinsichtlich SJt transitiv ist.
R EINHOLD BäEk!
in a s 902 übergehen soll; weiter seiA St eine beliebige Klasse aus Zf, Y eine — etwa
die in einer Wohlordnung der Y erste — mit K inzidierende Klasse, K', Y' ihre Bild-
klassen bei ä; sei e eK-F und e' £ K'><Y' beliebig; bei a soll e'das Bild von e sein.
Ist jetzt 27j = -W 80 i8^ damit a auch für 272 festgelegt; ist 27j h 272, so werde
a für 272 so festgelegt, daß die Identität auch das Bild von a und e das Bild von ez sei.
Für die von 27i (i = 1, 2) verschiedenen 27 sei a als identische Abbildung fest-
gelegt.
Daß a nicht nur für die ausgewählten Klassen Y, Y' die Abbildung ä realisiert,
sondern für alle Klassen aus 27j, folgt daraus, daß ä den Bedingungen 1. —3. genügt,
insbesondere 3, die in etwas 1, 2 umfaßt. Aus unserem Satz folgt leicht:
Zusatz 1: Die Menge der Klassen nach St bzw. II bzw. St' - II, die in einem voll-
ständigen, zusammenhängenden System auftreten, ist gleichmächtig den entsprechenden
Mengen in jedem andern vollständigen, zusammenhängenden System1).
Zusatz 2: Ist Y bzw. K eine beliebige Klasse nach U 6zw. so ist
die Menge der Klassen nach St - IX, die in Y bzw. K auftreten, gleich-
mächtig der Menge der Klassen nach .St — IX, die in U bzw. St auftreten1).
Zusatz 3 : Die Menge der Elemente von Y bzw. K ist gleichmächtig der
Menge der Elemente von IX bzw. ®1).
Satz 2 : Dann und nur dann gibt es eine kongruente Abbildung
a f 1, bei der
eine Klasse K nach St’ und jede mit ihr inzidierende Klasse nach XX,
jedoch nicht identisch, in sich übergehen,
wenn St-XX einen von der Identität verschiedenen Normalteiler von
® enthält.
A. Sei K = Ä’j; gibt es ein a, das den Bedingungen des Satzes
genügt, so geht hierbei St £ in mit t0 £ Ä, aber fo + h speziell
also £ in über. Dabei geht (.St —II) f j in (ft-Il) ftoj überundes
soll (St-ll) fj =. (St-IX) ff0 j sein; also muß
(St -IX) I = (St-IX) Ho = (St-IX) (f fof-1) f oder
U = (W-II) (HoD1), d. h.
f f0 Y1 £ St-IX für alle t e St’ sein.
B. Enthält St-IX einen von der Identität verschiedenen Normal-
teiler von so gibt es ein Element f0 e XX, f0 4= 1? so daß für alle
!e®gllt: f^r^STU.
Wir bestimmen dann a gemäß Zusatz 3 des Satz 1 des § 2 von Mg so,
daß, wenn K = & % ist, j in f0 j übergeht, während a in allen andern
Klassen nach St die identische Abbildung liefert. Wegen
(®-xx) «f0 s = (ä-ix) («t0 -
= (St-IX) f £
erfüllt dann a die Bedingungen des Satzes.
*) Vorausgesetzt, daß A hinsichtlich SJt transitiv ist.