Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

14

Beinhold Baer:

Klassen von 911 nach ft auf sich, bei der jede Klasse nach ft in eine über-
geht, die zur gleichen Klasse nach XX gehört,1}
3. eine beliebig vorgegebene, ähnliche Abbildung von 911 auf sich, bei
der jede Klasse nach ft in sich übergeht.2)
Durch 1.—3. ist die allgemeinste kongruente Abbildung charak-
terisiert.
Satz 2: Irgendzwei Satz 1 genügende Zerlegungen sind dann und
nur dann isomorph, wenn die Mengen der Klassen nach U in beiden Zer-
legungen gleiche Mächtigkeit besitzen.
A. Die Notwendigkeit der Bedingung folgt aus der Isomorphie-
definition bes. Bed. 2 der Definition 2 des § 1.
B. Seien Y^ für i = 1,2 die Klassen nach XX = der beiden
Zerlegungen und sei je dem Yff> das Y<2) zugeordnet. Sind fta^ die
Klassen nach ft aus Yß\ so sind deren Mengen gleichmächtig.
Wir definieren den gesuchten Isomorphismus so, daß bei ihm XX
invariant bleibt; er ist also nach Satz 1 des § 3 von Mg eine ähnliche
Abbildung, die wir gemäß Zusatz 3 des Satz 1 von § 2 von Mg durch:
“.7? -* A,, (” + °)
bestimmen.
Aus Satz 1 und Satz 2 folgt der
Zusatz I : Dann und nur dann gestattet 911 nichtisomorphe Zer-
legungen nach IX, die dem Satz 1 genügen, wenn
1. 911 unendlich viele Klassen nach ft besitzt und
2. die Mächtigkeit der Menge der Klassen nach ft, die nicht in XI vor-
kommen, nicht niedriger ist als die derer in XX.
Zusatz 2: XX 4 911 gibt es dann und nur dann eine und nur eine
Zerlegung von 911 nach XX, die der Bedingung des Satz 1 genügt, wenn
a. entweder XX = ft oder
b. die Anzahl der Klassen von 9J1 nach ft endlich und doppelt so groß
wie die der in XX enthaltenen ist.
A. Das Hinreichen der Bedingung b ist evident, das von a folgt
aus Satz 4 des § 1 und dem Zusatz zu Satz 4 des § 1.
B. Sei die Zahl der Klassen nach ft in XX größer als 1 und sei es mög-
lich, 911 in mehr als zwei Klassen nach XX zu zerlegen:
ft Ist die Menge der Klassen nach XX endlich, so braucht dies nur für 11 selbst
unter Invarianthaltung aller übrigen Klassen nach 11 gefordert zu werden.
2) Ist die Menge der Klassen nach ft endlich, so braucht dies nur für ft selbst
unter Invarianthaltung aller übrigen Klassen nach ft gefordert zu werden.