Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über die Zerlegungen einer Mischgruppe nach einer Untermischgruppe. 17
(St - 11) f„ a = K~ Yv(c), St - yr(c) = (St -11) fy(c)
bestimmte Zuordnung:
c: (St - II) f„-> 11) ir(c)
eine für K charakteristische Abbildung von || St / StII || auf sich.
Definieren wir die Abbildung c-1 von || $ / St II | auf sich durch:
(St o 11) t„(c) -> (St 11) tr bzw.
c-1: (St-11) ->(St- 11) V1)?
so sind:
/< ~ y„ = (St - U) fr(c.t) a, St - y„ = (St’ - 11) Y
ebenfalls c definierende Gleichungen.
Die charakteristischen Abbildungen sind eineindeutige Abbildungen
von || St / St - 111| auf sich, die wir also in üblicher Weise miteinander
multiplizieren können:
^(Ci)] (c2) = ^(CiCj)1)
Satz 3 : Für zwei Klassen von 9k nach St sind dann und nur dann
dieselben Abbildungen von || Jft'- 111 auf sich charakteristisch, wenn
diese Klassen ähnlich sind.
A. Ist für Kj (i = 1, 2) die gleiche Abbildung c charakteristisch,
dann ist Kx Yv = (St - 11) fr(C-i) <h mit ifi s K^ II, d. h. Kr und K2
sind ähnlich.
B. Sind umgekehrt Kr und K2 ähnlich und ist etwa:
/Q y„ = (St - II) fr(c-i) Qi mit Qj s Kj II,
so ist die gleiche Abbildung c für K. und K2 charakteristisch.
(Ersetzen wir etwa cij durch fu Uj mit fu £ - U, so wird
Ai— Ty = (Ä —IX) (fy(c-i) tu1) (fit Oi)
wieder für K t undÄh dieselbe, wenn auch i. a. von c verschiedene, charakteristische
Abbildung von || St / St — II || auf sich definieren.)
Wir sind also zu sagen berechtigt:
die Abbildung c von || St / Sl - U || auf sich ist für eine ganze Klasse ähn-
licher Klassen nach <t charakteristisch.
Satz 4: Zwei charakteristische Abbildungen c, (i = 1, 2) von
|j St / St - 11 j| auf sich sind dann und nur dann für die gleiche Klasse
ähnlicher Klassen nach St charakteristisch, wenn
c, = k c2
ist, wo k eine für St charakteristische Abbildung ist.
b Sei a: (Sl' - U) -> (St - U) fi;(a)
und b: (5t 11) G—>(Sl-ll)
dann führt b auch (St' II) fi.(a) in (St II) t[r(a)](b) über; also ist:
(St U) f[r(a)](b) = (St U) G(ab)-