Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

20

Reinhold Baer :

Führe ä das Element t £ ft in f e ft und
(s - u) t, = ® « y'11 m (s „ uj tf(1) = s -y;2>
— bei geeigneter Bezeichnung — über.
Wir definieren:
a . f OC)|(t *■ f i; (,t>
wo aC)jU und äi-iCj)|U so bestimmt sind, daß
1 & D.c, fj, Hj CIi-1c i> v S Kj-lc i> /x H Und
2. Äo,- K?’ = (Ä- U) 11,.,,,
— Ol 11) t[ji( ())([■ Iß-1;) ttr^o l> ist.
Aus Satz 4 des § 1 von Mg folgt zunächst, daß a ein Isomorphismus
ist; daß bei a auch 11 in sich übergeht, folgt daraus, daß ft U bei ä
in sich übergeht, und aus der Auswahl der a. Es bleibt zu zeigen, daß
bei a gerade Y^ in K^2) übergeht.
Bei a geht aber KCJ(U - Y^ = (ft1 - 11) ac, in
(ft II) fy(c-ij) Ct i-iCj)|U = (ft II) f [v(i)](i’1c‘1 i) Hi_1c i»
= über.
Satz 6 : Die Gruppe U* aller kongruenten Abbildungen von W auf
sich, bei denen II in sich übergeht, ist dann und nur dann hinsichtlich ll
transitiv, wenn
1. das System C der charakteristischen Abbildungen von j ft1 / ft II ||
auf sich eine Gruppe bildet,
2. die Klassen ähnlicher Klassen nach ft1 alle gleichmächtig sind.
A. Ist u e U* beliebig und führt Yv in Yv^u) über, so induziert u
auch eine Abbildung von || ft / ft 111|:
ft - Yr = (ft - 11) tv — ft - Y,,(u) = (ft - 11) fr(u),
wenn Yv bei u in YV(U) übergeht.
(1) Diese Abbildung ist charakteristisch für die Klasse Ku nach ft,
in die ft durch u über geführt wird.
Führe nämlich u die Identität von Wt in das Element au e Ku II
über; dann geht bei u auch
ft Yr = (ft II) tv in (ft II) tv an = Kn^ Yv{u)
über, da ja 7<u das Bild von ft, Yr(u) das von Yv ist. (1) folgt jetzt aus
der Definition der charakteristischen Abbildung von Kn.
(2) Die Untergruppe J* von U*, bei der jede Klasse nach 11 in sich
übergeht, ist ein Normalteiler von U*.
Sei u £ U* und i £ J* beliebig; bei u gehe Yv in YvM, also Y^(u)
bei u“1 in Yv über, während Yr(u) bei i in sich übergeht; also geht bei
u i u_1 jede Klasse nach 11 in sich über, d. h. ui u“1 £ J*,