Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

26 Reinhold Baer :
durch Isomorphismen an St/k induziert werden, d. s. z. B. beliebige Isomor-
phismen, wenn St U = {Z} ist; in diesem Fall ist A ein Normalteiler von C.
Dies folgt aus Satz 8 und dem Zusatz des Satz 7. Daß im 3. Falle A
Normalteiler von C ist, folgt aus der Relation: ck = a(k) c für jedes
t s ft mit a(k) £ A; es ist ja für jedes k £ A dann:
c k c_1 = a(k) £ A.
Zusatz 2 : Führen zwei kongruente Abbildungen die Identität von 3k
in das gleiche Element über, so bewirken sie die gleiche eineindeutige Ab-
bildung der Menge der Klassen von 3k nach II auf sich.
Dies gilt, wenn die Identität in sich übergeht; da dann St invariant
bleibt, geht ft r' Yv = (ft II) in sich über, also auch Yv, da die Ab-
bildungen kongruent sein sollen. — Führen aber ux und u2 die Identität
in m £ 3k über, so läßt u3 u^1 sie und also alle Yv invariant.
Zusatz 3: Die allgemeinste kongruente Abbildung von 3k, bei der jede
Klasse nach U in sich übergeht, ist charakterisiert
1. durch eine beliebige eineindeutige Abbildung von |j 3k / St jl auf
sich, bei der Klassen nach ft nur in ähnliche Klassen übergehen1}
2. durch die Zuordnung: —* t aM, wo e K„ beliebig und f £
beliebig ist.1)
Sind nämlich K1 und K2 ähnlich, so gibt es Elemente Qj s /ft II,
so daß (ft^Il) lv Cj = K^YV ist. Die Abbildung a2 leistet das
Verlangte.
Weiter ist für f s 31 auch stets (ft ~ II) ft f = (ft II) ft. — Die
Umkehrung ist evident.
Zusatz 4: Liege eine Satz 8 genügende Zerlegung 2. Art von 3k nach
II vor; sei Ift eine Untermischgruppe 1. Art von 3k; dann und nur dann
ist die Gruppe U* aller und nur der kongruenten Abbildungen ■— rück-
sichtlich der Zerlegung von 3k nach II —, die II , in sich überführen, hin-
sichtlich Ift transitiv, wenn
1. Ift nur gleichmächtige Klassen ähnlicher Klassen enthält2),
2. das Teilsystem (ft von C der zu den Klassen ähnlicher Klassen
aus II] gehörigen charakteristischen Abbildungen den Bedingungen 1, 2
des Satzes 8 genügt.
x) Ist die Zahl der Klassen nach ft endlich, so braucht Bedingung 1 nur für
die Klasse der zu ft ähnlichen Klassen, Bedingung 2 nur für ft selbst unter
gleichzeitiger Invarianthaltung aller übrigen Klassen gefordert zu werden.
2) D. s. die Durchschnitte von llj mit den Klassen ähnlicher Klassen der
Zerlegung von 2k nach U.