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https://doi.org/10.11588/diglit.43549#0005
Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. 5
des Ideals (p, p) genau die Dimension m—1. Ein ganz entsprechender
Satz für Potenzreihenbereiche, der von 0. Blumenthal1) bewiesen wurde,
dürfte gleichfalls als Spezialfall aus unserm Hauptidealsatz folgen.
Die Untersuchungen dieser Note stellen also nicht nur eine Ver-
allgemeinerung vom konkreten Sonder- auf den abstrakten allgemeinen
Fall dar, sondern sie liefern gleichzeitig Methoden, die geeignet sind,
das Studium eben jenes Sonderfalls (des Polynomrings) weiter zu fördern.
§1-
Vorbemerkungen.
Den Untersuchungen liegt ein kommutativer Ring 91 mit Einheits-
element e zugrunde, der die Eigenschaft hat, daß im Bereich seiner
Ideale jede Kette von echten Teilern im Endlichen abbricht. Elemente
werden mit kleinen lateinischen oder griechischen, Ideale mit kleinen
deutschen Buchstaben bezeichnet; o bedeutet das Einheits-, u das
Nullideal. Unter „Ideal“ schlechtweg verstehen wir stets ein Ideal 0.
Für den größten gemeinschaftlichen Teiler, das kleinste gemeinschaftliche
Vielfache, den Quotienten, das Restklassensystem verwenden wir die
bzw. Schreibweisen: a+b; avb; a : b; 91 / m, a / m2). a = /3(a)
bedeutet die Teilbarkeit von a—ß durch a. Ist a Vielfaches von b, so
schreiben wir b, b^a; das Gleichheitszeichen wird nur dann weg-
gelassen, wenn a und b sicher verschieden sind. Das Ideal b heißt zu a
prim, wenn die Gleichung a : b = u gilt; das Element ß wird zu a
prim genannt, wenn das Hauptideal (/?) zu a prim ist. In § 2 benutzen
wir den Satz, daß jedes zu a prime Ideal mindestens ein zu a
primes Element enthält.3) Ein Ideal p heißt Primideal, wenn
jedes durch p unteilbare Ideal zu p prim ist, d. h. wenn ein Produkt
zweier Ideale nur dann durch p teilbar ist, wenn mindestens ein Faktor
durch p teilbar ist. Ein Ideal q wird Primärideal genannt, wenn ein
Produkt zweier Ideale nur dann durch q teilbar ist, wenn das gleiche von
*) 0. BLUMENTHAL: Zum Eliminationsproblem bei analytischen Funktionen
mehrerer Veränderlicher. Math. Annal. 57 (1903) § 8. S. 966f. Um nachzuweisen,
daß der dort formulierte *Satz tatsächlich eine Folge des Hauptidealsatzes ist,
hat man zu zeigen, daß auch bei den Potenzreihenringen die irreduzibeln Mannig-
faltigkeiten den Primidealen entsprechen, eine Tatsache, von der mir kein aus-
geführter Beweis bekannt ist.
2) Die Schreibweise o/m wird nur dann benutzt, wenn m durch a teilbar ist,
wenn also a/m genau so definiert werden kann wie fR/tn.
3) Die Beh. kann leicht aus dem weiter unten angeführten Hilfssatz c) ab-
geleitet werden. Ist b durch keines der endlich vielen zu a gehörigen Primideale
teilbar, so kann man stets auch ein einzelnes Element ß in b finden, das durch keines
jener Primideale teilbar ist. (Zur Konstruktion eines solchen Elements vgl. S. 10
Anm. 2.)
des Ideals (p, p) genau die Dimension m—1. Ein ganz entsprechender
Satz für Potenzreihenbereiche, der von 0. Blumenthal1) bewiesen wurde,
dürfte gleichfalls als Spezialfall aus unserm Hauptidealsatz folgen.
Die Untersuchungen dieser Note stellen also nicht nur eine Ver-
allgemeinerung vom konkreten Sonder- auf den abstrakten allgemeinen
Fall dar, sondern sie liefern gleichzeitig Methoden, die geeignet sind,
das Studium eben jenes Sonderfalls (des Polynomrings) weiter zu fördern.
§1-
Vorbemerkungen.
Den Untersuchungen liegt ein kommutativer Ring 91 mit Einheits-
element e zugrunde, der die Eigenschaft hat, daß im Bereich seiner
Ideale jede Kette von echten Teilern im Endlichen abbricht. Elemente
werden mit kleinen lateinischen oder griechischen, Ideale mit kleinen
deutschen Buchstaben bezeichnet; o bedeutet das Einheits-, u das
Nullideal. Unter „Ideal“ schlechtweg verstehen wir stets ein Ideal 0.
Für den größten gemeinschaftlichen Teiler, das kleinste gemeinschaftliche
Vielfache, den Quotienten, das Restklassensystem verwenden wir die
bzw. Schreibweisen: a+b; avb; a : b; 91 / m, a / m2). a = /3(a)
bedeutet die Teilbarkeit von a—ß durch a. Ist a Vielfaches von b, so
schreiben wir b, b^a; das Gleichheitszeichen wird nur dann weg-
gelassen, wenn a und b sicher verschieden sind. Das Ideal b heißt zu a
prim, wenn die Gleichung a : b = u gilt; das Element ß wird zu a
prim genannt, wenn das Hauptideal (/?) zu a prim ist. In § 2 benutzen
wir den Satz, daß jedes zu a prime Ideal mindestens ein zu a
primes Element enthält.3) Ein Ideal p heißt Primideal, wenn
jedes durch p unteilbare Ideal zu p prim ist, d. h. wenn ein Produkt
zweier Ideale nur dann durch p teilbar ist, wenn mindestens ein Faktor
durch p teilbar ist. Ein Ideal q wird Primärideal genannt, wenn ein
Produkt zweier Ideale nur dann durch q teilbar ist, wenn das gleiche von
*) 0. BLUMENTHAL: Zum Eliminationsproblem bei analytischen Funktionen
mehrerer Veränderlicher. Math. Annal. 57 (1903) § 8. S. 966f. Um nachzuweisen,
daß der dort formulierte *Satz tatsächlich eine Folge des Hauptidealsatzes ist,
hat man zu zeigen, daß auch bei den Potenzreihenringen die irreduzibeln Mannig-
faltigkeiten den Primidealen entsprechen, eine Tatsache, von der mir kein aus-
geführter Beweis bekannt ist.
2) Die Schreibweise o/m wird nur dann benutzt, wenn m durch a teilbar ist,
wenn also a/m genau so definiert werden kann wie fR/tn.
3) Die Beh. kann leicht aus dem weiter unten angeführten Hilfssatz c) ab-
geleitet werden. Ist b durch keines der endlich vielen zu a gehörigen Primideale
teilbar, so kann man stets auch ein einzelnes Element ß in b finden, das durch keines
jener Primideale teilbar ist. (Zur Konstruktion eines solchen Elements vgl. S. 10
Anm. 2.)