DOI Seite / Zitierlink:
https://doi.org/10.11588/diglit.43549#0013
Primidealketten in allgemeinen Ringbereichen. 13
Unter einer „zum Primideal p — (a^—ax, ... • xn — un)
gehörigen Potenzreihe“ verstehen wir eine formale Potenzreihe in
xi — ai’ ■ ■ ■ xn — an Koeffizienten aus Ä. In einer Gleichung,
in der gleichzeitig Polynome und zu p gehörige Potenzreihen vorkommen,
sind die Polynome als zu p gehörige Potenzreihen aufzufassen, d. h.
nach Potenzen von x±-— a±, . ... xn — an zu entwickeln. — Es soll
nun gezeigt werden, daß mit Hilfe von Satz 2 von § 2 aufs einfachste be-
wiesen werden kann die
Lasker-Macaulaysche Verallgemeinerung des Noetherschen
Fundamentalsatzes1):
Zu einem Polynomideal a = (ax (®), • ■ . (&)) aus kann
man endlich viel Primideale px*, .... p*re ohne echten Teiler
so bestimmen, daß ein bei. Polynom a (x) sicher durch a teil-
bar ist, wenn zu jedem p* je l zugehörige Potenzreihen Aa,
.... Aü existieren, die den folgenden formalen Potenz-
reihengleichungen genügen:
a(x) = Ail-a3 + Ai2-a2±....x-Ail-ai (i = 1,2 .... m) (3)
Es seien p1; . . . pTO diejenigen Primideale, die zu den bei einer
Primäridealdarstellung a=q1r'q2r>. . . . qm von a auftretenden
Komponenten qx gehören. Unser Satz wird bewiesen sein, wenn wir
zeigen können, daß aus der Gültigkeit der Gleichung (3) für den Index
% die Kongruenz a = 0 (qx) folgt, falls wir nur für p* einen Primideal-
teiler von px ohne von o verschiedenen echten Teiler wählen. (Die Exi-
stenz eines p* der gewünschten Art folgt unmittelbar aus dem Teiler-
kettensatz).
Gilt nun die Gleichung u = und bedeutet r eine bei.
s= i
ganze positive Zahl, so können wir die Polynome q^ aus sü so be-
stimmen, daß die Potenzreihen Axs — qtys (s = 1 .... V) sämtlich nur
Glieder mindestens rter Dimension in xt—axl, . . . xn — axn ent-
halten (p* = (x1—.... xn—axn) vorausgesetzt!), und es wird
dann: a= £ as fi- 2 (A„s — gfä) ■ a = qr + rr, wobei qr ein durch
(1, also erst recht durch qx, rr ein durch (p^/ teilbares Polynom bedeutet.
Die Gleichung a =£as • A^s zieht also die Kongruenzen a = 0 (qx +
s
(px)r) G = l, 2 . . . .) nach sich, und durch Übergang von sü zu
T / qx erhalten wir ä = Ö (((p*)r + qj / qj2) (r = 1, 2 ....).
x) Vgl. Anm. 3 von Seite 4!
2) a bzw. 0 sollen die durch a bzw. 0 bestimmten Restklassen ausiß/q^ be-
deuten.
Unter einer „zum Primideal p — (a^—ax, ... • xn — un)
gehörigen Potenzreihe“ verstehen wir eine formale Potenzreihe in
xi — ai’ ■ ■ ■ xn — an Koeffizienten aus Ä. In einer Gleichung,
in der gleichzeitig Polynome und zu p gehörige Potenzreihen vorkommen,
sind die Polynome als zu p gehörige Potenzreihen aufzufassen, d. h.
nach Potenzen von x±-— a±, . ... xn — an zu entwickeln. — Es soll
nun gezeigt werden, daß mit Hilfe von Satz 2 von § 2 aufs einfachste be-
wiesen werden kann die
Lasker-Macaulaysche Verallgemeinerung des Noetherschen
Fundamentalsatzes1):
Zu einem Polynomideal a = (ax (®), • ■ . (&)) aus kann
man endlich viel Primideale px*, .... p*re ohne echten Teiler
so bestimmen, daß ein bei. Polynom a (x) sicher durch a teil-
bar ist, wenn zu jedem p* je l zugehörige Potenzreihen Aa,
.... Aü existieren, die den folgenden formalen Potenz-
reihengleichungen genügen:
a(x) = Ail-a3 + Ai2-a2±....x-Ail-ai (i = 1,2 .... m) (3)
Es seien p1; . . . pTO diejenigen Primideale, die zu den bei einer
Primäridealdarstellung a=q1r'q2r>. . . . qm von a auftretenden
Komponenten qx gehören. Unser Satz wird bewiesen sein, wenn wir
zeigen können, daß aus der Gültigkeit der Gleichung (3) für den Index
% die Kongruenz a = 0 (qx) folgt, falls wir nur für p* einen Primideal-
teiler von px ohne von o verschiedenen echten Teiler wählen. (Die Exi-
stenz eines p* der gewünschten Art folgt unmittelbar aus dem Teiler-
kettensatz).
Gilt nun die Gleichung u = und bedeutet r eine bei.
s= i
ganze positive Zahl, so können wir die Polynome q^ aus sü so be-
stimmen, daß die Potenzreihen Axs — qtys (s = 1 .... V) sämtlich nur
Glieder mindestens rter Dimension in xt—axl, . . . xn — axn ent-
halten (p* = (x1—.... xn—axn) vorausgesetzt!), und es wird
dann: a= £ as fi- 2 (A„s — gfä) ■ a = qr + rr, wobei qr ein durch
(1, also erst recht durch qx, rr ein durch (p^/ teilbares Polynom bedeutet.
Die Gleichung a =£as • A^s zieht also die Kongruenzen a = 0 (qx +
s
(px)r) G = l, 2 . . . .) nach sich, und durch Übergang von sü zu
T / qx erhalten wir ä = Ö (((p*)r + qj / qj2) (r = 1, 2 ....).
x) Vgl. Anm. 3 von Seite 4!
2) a bzw. 0 sollen die durch a bzw. 0 bestimmten Restklassen ausiß/q^ be-
deuten.