Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über Flächen mit geodätischen Dreiecksnetzen.

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endlich aus (15):

(21)

1 — nV2

Trägt man
(23)

Ft= kV'2 + n (F1F2+F'2),
, yiF2= Lv,2+p (FxF2+F'2),
m F'2 = V2 ( J71 V2 + F/2) + q ( V1 F2 7'2).
den aus der ersten dieser Gleichungen erhaltenen Wert
Fi, (k+n) V'2

n d”
m V2 = F2 + q.
Dabei sind k, l, m, n, p, q Konstante, die aber nicht voneinander un-
abhängig sind. Setzen wir nämlich aus (16) die entsprechenden Werte
ein, so ergeben sich zwischen V und Fx die drei Gleichungen:

in die dritte Gleichung (22) ein, so erhält man:
m(l -nF2) = 7t F4 + (1 + Äq)V2 + q,
woraus bei beliebigem F folgt:
(24) k = o, mn = — q~ m.
Ferner ergibt sich aus der zweiten Gleichung (22):
»(1 + ^) F2-p-l = o,
somit:

(25)

l = — 2, p = 1.

Schließlich findet man aus der ersten Gleichung (21):

(26)


77'2
772-%’

damit wird, wie man leicht erkennt, auch die erste Gleichung (19) be-
friedigt.
Wird aber in (18) gleichzeitig:
(F2 f3T = 0, F2' = O-,
= o,(UW2’)=l
V2 = o, V3' = o,

so wird man jeweils auf U — const. oder F = const. geführt, also auf
die abwickelbaren Flächen; somit scheidet diese Möglichkeit aus. Daher
hat die Gleichung (14) die allgemeinste Lösung:

(27)


U'2 7 1
n - TJ2’71 = 1 - w F2’

wobei 77, F beliebig bleiben. Daraus folgt:
Die Flächen konstanter Krümmung lassen geodä-
tische Netze zu, deren Winkel $ der Bedingung (13) für
ganz beliebige Funktionen U, V genügt.