Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Eine idealtheoretische Lösung des Cramerschen Para-
doxons, die jeden singulären Fall umfaßt.
Von H. Kapferer in Freiburg i. Br.

§ I. Als CRAMERSches Paradoxon ist die Tatsache bekannt, daß
eine algebraische Kurve Cn(x, y} der Ordnung n zwar „im allgemeinen“,
aber nicht immer, durch H verschiedene ihrer Punkte be-
z
stimmt ist. Der Anlaß zu dieser Beobachtung war im Grunde der
BEZOUTSche Satz in seiner einfachsten Gestalt, wonach zwei verschiedene
Kurven gleicher Ordnung n, etwa f (x, y) und g (x, y) — zwei teiler-
fremde Polynome in x, y bis zu n2 verschiedene gemeinsame Punkte
haben können. Sobald nun dieser extreme Fall vorliegt, und gleich-
zeitig n2 > —-- d. h. auch n > 3 ist, so liegt ja schon der er-
wähnte paradoxe Fall vor.
Euler und Cramer haben, unabhängig voneinander, diese Tatsache
durch die Bemerkung aufgeklärt, daß die n2 linearen Gleichungen,
denen die Koeffizienten einer Cn genügen müssen, damit letztere durch
die n2 verschiedenen Schnittpunkte von zwei gegebenen Kurven gleicher
Ordnung hindurchgeht, nicht immer voneinander unabhängig sind.
Eine viel weiter gehende Aufklärung bietet der CAYLEYsche Schnitt-
punktsatz x):

(1)

Wenn eine Kurve Cv (x, y) der Ordnung v gezwungen ist, durch
die m • n — als voneinander verschieden gedachten — Schnitt-
punkte von zwei gegebenen Kurven f,» («,«/) und g n(ß, y) —
zwei teilerfremde Polynome —, mit
zu gehen, so werden der Cv (x, y) hierdurch r linear unab-
hängige Bedingungen auferlegt; dabei ist
r = m- n im Fall v > m + n — 3
r<Cm-n im Fall —3, und zwar
(m + n — 1) (m + n — 2)
r = m • n — --Gf-

Dieser CAYLEYsche Satz beschränkt sich also auf den Fall, daß
es sich um einfach zählende Schnittpunkte handelt. Im Jahre 1887

*) Cayley; Cambridge Math. J. 3, 211 (1843); Papers I, 25.

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