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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0021
Eine idealtheoretische Lösung des CRAMERSchen Paradoxons usw. 21
durch die Schnittpunkte von f—0, g = 0 geht; der Satz (2) enthält
also jedenfalls den Satz (1).
Da unsere Beweismethode zum Satz (2) zunächst nicht konstruk-
tiv sein wird, dürfte es von Interesse sein, einen Fall kennenzulernen,
in welchem sich das Ergebnis (2) explizite verfolgen läßt, in welchem
die Gleichungen praktisch aufgestellt werden können. Darüber in § 5.
Die Überlegung hierzu stützt sich auf einen früher von mir auf-
gestellten Satz. Letzterer wird überdies von neuem bewiesen, und zwar
nach einer von E. Noether in Göttingen mir brieflich mitgeteilten
Schlußweise.
§ 2.
Auflösung der Kongruenz C=O(f,g) in lineare Bedingungsgleichungen.1)
In der idealtheoretischen Fassung ist der NoETHERSche Funda-
mentalsatz im wesentlichen identisch mit der Zerlegung des Ideals von
zwei teilerfremden Polynomen f g(x^y) in Primärideale2) q{,
und zwar in so viele Primärideale, als es verschiedene gemeinsame Null-
stellen £ = y = ßi von f und g gibt. Sei s die Anzahl der ver-
schiedenen gemeinsamen Nullstellen; dann gilt der Satz:
Die Kongruenz C = 0 (/*, g) ist äquivalent dem System der s Kon-
gruenzen C=0 (qf) für i = 1,2, .. s.
Nun sei ja der Rang des Restklassenrings mod q, d.h. auch p. = Maxi-
malzahl der linear unabhängigen Restklassen mod q. Ferner sei Rx,
Betracht. Der Satz (2) sagt nur aus: Unter den m-n Bedingungen sind wenigstens
einmal r linear unabhängige auswählbar, d. h. vorhanden, so daß die übrigen
m n — r von selbst miterfüllt sind.
b Die Zurückführung auf lineare Gleichungen in anderem Sinn war schon
Macaulay a. a. 0. bekannt. Doch machen wir von dessen Überlegungen hier
keinen Gebrauch. Vgl. auch Macaulays Bericht auf dem internationalen
Mathematiker-Kongreß, Heidelberg 1904, „The intersections of plane curves with
extensions to n- dimensional algebraic manifolds“. Man vergleiche ferner
E. Löffler „Zum NoETHERschen Fundamentalsatz11 Math. Annalen (65), 1908. Was
Löffler „einreihiges System“ nennt, ist im Grunde das, was wir Restklassensystem
nach einem Primärideal genannt haben.
2) Vgl. etwa: F. S. Macaulay: „The algebraic Theorie of Modular Systems“
1917, Cambridge Tracts, Nr. 19. Ferner E. Noether „Zur Theorie der Polynom-
ideale und Resultanten“ Mathern. Annalen (88), 1922,und E. Noether: „Eliminations-
theorie und allgemeine Idealtheorie“ Math. Annalen (90), 1923. B. L. van der
Waerden „Zur Nullenstellentheorie der Polynomideale“ Mathern. (96), 1926.
Ferner H. Kapferer „Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen
zum NoETHERschen Fundamentaisatz der algebraischen Funktionen“, mit einem
Zusatz, gemeinsam mit E. Noether, Mathern. Annalen (97), 1927 und Sitzber.
der Heidelberger Akademie 1927.
durch die Schnittpunkte von f—0, g = 0 geht; der Satz (2) enthält
also jedenfalls den Satz (1).
Da unsere Beweismethode zum Satz (2) zunächst nicht konstruk-
tiv sein wird, dürfte es von Interesse sein, einen Fall kennenzulernen,
in welchem sich das Ergebnis (2) explizite verfolgen läßt, in welchem
die Gleichungen praktisch aufgestellt werden können. Darüber in § 5.
Die Überlegung hierzu stützt sich auf einen früher von mir auf-
gestellten Satz. Letzterer wird überdies von neuem bewiesen, und zwar
nach einer von E. Noether in Göttingen mir brieflich mitgeteilten
Schlußweise.
§ 2.
Auflösung der Kongruenz C=O(f,g) in lineare Bedingungsgleichungen.1)
In der idealtheoretischen Fassung ist der NoETHERSche Funda-
mentalsatz im wesentlichen identisch mit der Zerlegung des Ideals von
zwei teilerfremden Polynomen f g(x^y) in Primärideale2) q{,
und zwar in so viele Primärideale, als es verschiedene gemeinsame Null-
stellen £ = y = ßi von f und g gibt. Sei s die Anzahl der ver-
schiedenen gemeinsamen Nullstellen; dann gilt der Satz:
Die Kongruenz C = 0 (/*, g) ist äquivalent dem System der s Kon-
gruenzen C=0 (qf) für i = 1,2, .. s.
Nun sei ja der Rang des Restklassenrings mod q, d.h. auch p. = Maxi-
malzahl der linear unabhängigen Restklassen mod q. Ferner sei Rx,
Betracht. Der Satz (2) sagt nur aus: Unter den m-n Bedingungen sind wenigstens
einmal r linear unabhängige auswählbar, d. h. vorhanden, so daß die übrigen
m n — r von selbst miterfüllt sind.
b Die Zurückführung auf lineare Gleichungen in anderem Sinn war schon
Macaulay a. a. 0. bekannt. Doch machen wir von dessen Überlegungen hier
keinen Gebrauch. Vgl. auch Macaulays Bericht auf dem internationalen
Mathematiker-Kongreß, Heidelberg 1904, „The intersections of plane curves with
extensions to n- dimensional algebraic manifolds“. Man vergleiche ferner
E. Löffler „Zum NoETHERschen Fundamentalsatz11 Math. Annalen (65), 1908. Was
Löffler „einreihiges System“ nennt, ist im Grunde das, was wir Restklassensystem
nach einem Primärideal genannt haben.
2) Vgl. etwa: F. S. Macaulay: „The algebraic Theorie of Modular Systems“
1917, Cambridge Tracts, Nr. 19. Ferner E. Noether „Zur Theorie der Polynom-
ideale und Resultanten“ Mathern. Annalen (88), 1922,und E. Noether: „Eliminations-
theorie und allgemeine Idealtheorie“ Math. Annalen (90), 1923. B. L. van der
Waerden „Zur Nullenstellentheorie der Polynomideale“ Mathern. (96), 1926.
Ferner H. Kapferer „Notwendige und hinreichende Multiplizitätsbedingungen
zum NoETHERschen Fundamentaisatz der algebraischen Funktionen“, mit einem
Zusatz, gemeinsam mit E. Noether, Mathern. Annalen (97), 1927 und Sitzber.
der Heidelberger Akademie 1927.