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https://doi.org/10.11588/diglit.43602#0037
Über das Verhältnis von Idealklassen- und Einheitengruppe usw. 37
z. B. x nur in einem zyklischen Unterkörper von / X^ zur l ÜE
Potenz wird und von da ab bis zu ZfJ keinen Potenzzerfall mehr er-
leidet. x wird daher wie auch jeder Primteiler von q nur zur Z1 V1
Potenz in XpA, gerade so wie schon in X= Xp x\ Daher ist X^X
un verzweigt; x\ e < X. Wir haben hiermit einen neuen Beweis dafür, daß
X' IX1 der maximale Abelsche Unterkörper von X/W^ist,erhalten,
der zwar auf mehr Einzelheiten eingeht, die aber den Situationsplan
der Körper zwischen X? und xj q näher skizzieren. Da X1 q zum
Modul (5)1, X) gehört und über X vom Grade l^~1 ist, so erhalten
wir dazu: =
Für die Unterkörper X von X außer X^ und X^ ist der maxi-
made relativ Abelsche Unterkörper X von X der absolute Klassenkörper,
weil X dieselbe Differente {p q^ besitzt wie Zv. Die Klassenzahl
von X' ist gerade durch ft teilbar, X' / X vom Grade Z , wenn X
/Z—1 x
zum Modul 5)1' = (5)1, S-l) = ( < S-l, X2“1 ) gehört. 5)1' ent-
\ß=o /
steht so: X , X S2e liegen an sich in 5)1 und sind nach dem in
5)1'liegenden S—l einander kongruent: S2 = S1a; X Szs = X a- =■
X Sx Wenn wir sofort mod S— 1 reduzieren und nur mit einer Vari-
abein X oder Y rechnen, so ist 5JP ein Primärmodul mit dem Prim-
teiler (X X), sofern 5)1' t (1); 2> 1. 5JI' selbst hat dann die Form
(X Si", X’), wobei ein Faktor Z als äquivalent mit X1 1 zu betrach-
ten ist gemäß X^~1 = X S, + Z J. Da hier 5)U gerade Z^—1 Pestklassen
besitzen soll, muß v = 2 — 1 sein. — Es ist hier nicht gesagt, daß 2< Z ist.
2. Einiges, was für die Einheitengruppe des Körpers X ohne
Rücksicht auf die Gestalt der Idealklassengruppe gilt, wollen wir vor-
wegnehmen. Wesentlich soll hier nur sein, daß X ein Abelscher Körper
vom Typus (Z, Z) ist über einen Grundkörper, der keine Fundamental-
einheit besitzt, so daß die Unterkörper Zü£ Grades von X nur eine
relative Grundeinheit besitzen, und daß der Grundkörper nicht die
primitive ZR Einheitswurzel Cz enthält, so daß keine Zahl eines Unter-
körpers von X in X selbst erst zu einer Zl£B Potenz werden kann. Als
Grundkörper ist also außer dem rationalen Zahlkörper P jeder ima-
ginär-quadratische zugelassen mit Ausnahme von P (]/”—3) für Z=3.
Das Vorzeichen soll bei den Einheiten stets unberücksichtigt bleiben,
z. B. x nur in einem zyklischen Unterkörper von / X^ zur l ÜE
Potenz wird und von da ab bis zu ZfJ keinen Potenzzerfall mehr er-
leidet. x wird daher wie auch jeder Primteiler von q nur zur Z1 V1
Potenz in XpA, gerade so wie schon in X= Xp x\ Daher ist X^X
un verzweigt; x\ e < X. Wir haben hiermit einen neuen Beweis dafür, daß
X' IX1 der maximale Abelsche Unterkörper von X/W^ist,erhalten,
der zwar auf mehr Einzelheiten eingeht, die aber den Situationsplan
der Körper zwischen X? und xj q näher skizzieren. Da X1 q zum
Modul (5)1, X) gehört und über X vom Grade l^~1 ist, so erhalten
wir dazu: =
Für die Unterkörper X von X außer X^ und X^ ist der maxi-
made relativ Abelsche Unterkörper X von X der absolute Klassenkörper,
weil X dieselbe Differente {p q^ besitzt wie Zv. Die Klassenzahl
von X' ist gerade durch ft teilbar, X' / X vom Grade Z , wenn X
/Z—1 x
zum Modul 5)1' = (5)1, S-l) = ( < S-l, X2“1 ) gehört. 5)1' ent-
\ß=o /
steht so: X , X S2e liegen an sich in 5)1 und sind nach dem in
5)1'liegenden S—l einander kongruent: S2 = S1a; X Szs = X a- =■
X Sx Wenn wir sofort mod S— 1 reduzieren und nur mit einer Vari-
abein X oder Y rechnen, so ist 5JP ein Primärmodul mit dem Prim-
teiler (X X), sofern 5)1' t (1); 2> 1. 5JI' selbst hat dann die Form
(X Si", X’), wobei ein Faktor Z als äquivalent mit X1 1 zu betrach-
ten ist gemäß X^~1 = X S, + Z J. Da hier 5)U gerade Z^—1 Pestklassen
besitzen soll, muß v = 2 — 1 sein. — Es ist hier nicht gesagt, daß 2< Z ist.
2. Einiges, was für die Einheitengruppe des Körpers X ohne
Rücksicht auf die Gestalt der Idealklassengruppe gilt, wollen wir vor-
wegnehmen. Wesentlich soll hier nur sein, daß X ein Abelscher Körper
vom Typus (Z, Z) ist über einen Grundkörper, der keine Fundamental-
einheit besitzt, so daß die Unterkörper Zü£ Grades von X nur eine
relative Grundeinheit besitzen, und daß der Grundkörper nicht die
primitive ZR Einheitswurzel Cz enthält, so daß keine Zahl eines Unter-
körpers von X in X selbst erst zu einer Zl£B Potenz werden kann. Als
Grundkörper ist also außer dem rationalen Zahlkörper P jeder ima-
ginär-quadratische zugelassen mit Ausnahme von P (]/”—3) für Z=3.
Das Vorzeichen soll bei den Einheiten stets unberücksichtigt bleiben,