Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Richard Baldus:

Axiomen dieser Gruppen folgenden Sätze über die Gerade gelten1).
Diese Deutung, die wichtige Schlüsse auf die Stetigkeitsaxiome
gestattet, besteht, Abb. 2, im Folgenden:
Gegeben sei in der Eukli-
dischen Ebene eine (abzahl-
bar) unendliche Folge äqui-
distanter paralleler Gerader;
jede einzelne Gerade denkt
man sich von links nach
rechts durchlaufen, die Folge
der Geraden von unten nach
oben. Nennt man jede solche
Gerade eine ,,Teilgerade“,
dann faßt man die Gesamtheit dieser Teilgeraden als ,, Gerade“
auf, die (eigentlichen) Punkte dieser Teilgeraden als „Punkte“.
Von irgend zwei „Punkten“ liegt dann im Sinne der Durchlaufung
einer vor dem anderen (z. B. Ä vor B), „zwischen“ den beiden
„Punkten“ liegen dann die „Punkte“, welche hinter dem vorderen
und vor dem hinteren der beiden liegen (die „Punkte“ Alf Ä2, As
z. B. liegen „zwischen“ A und B, aber nicht die „Punkte“ C und D).
Damit ist die Übereinstimmung mit den Anordnungstatsachen auf
der „Geraden“ gewonnen.
Zwei „Strecken“, deren jede auf einer Teilgeraden liegt, heißen
„kongruent“,- wenn sie Euklidisch gleich sind. Liegt eine „Strecke"
in mehreren Teilgeraden (z. B. AC), dann heißt eine andere „Strecke“
ihr „kongruent“, wenn sie in ebensoviel Teilgeraden liegt und außer-
dem die senkrechte Projektion des vorderen Endpunktes der ersten
„Strecke“ auf die Teilgerade ihres hinteren Endpunktes Euklidisch
gleich und gleichgerichtet ist der ebenso aus der zweiten „Strecke“
gewonnenen Euklidischen Strecke (z. B. sind wegen der Euklidischen
Gleichheit von A'C und D'E die „Strecken“ AC und DE „kon-
gruent“). Jetzt hat die „Gerade“ auch die linearen Kongruenz-
eigenschaften.
4. Man sieht sofort, z. B. an der „Strecke“ AB4 und ihrer
„Teilstrecke“ AAlf daß diese Deutung Nichtarchimedisch ist.
1) Bekanntlich benötigt man das Axiom von Pasch bei der Ableitung der
Anordnungseigenschaften der Punkte in einer Geraden. Vgl. z. B. G. Feigl,
„Über die elementaren Anordnungssätze der Geometrie“, Jahresber. d. Deutsch.
Mathern. Vergg. XXXIII (1924) S. 2—24, insbes. S. 3.

D’ E

V

A .4, -42 A3 A4
Abb. 2.

A'
C
\d
37
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b4
B2
B,
B