Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Zur Klassifikation der regulären Scharen quadratischer Formen.

5

Satz F. Sind clie Matrizen P, Px beide symmetrisch
und ist Pj = VPU, wo |UV| =j= 0, so läßt sich eine, nur
von U und V abhängige, reguläre Matrix S so angeben,
daß Px = S'PS ist. Besteht zwischen den symmetrischen
Matrizen Q, Qx die Relation Q1=VQU, so ist also auch
Qi = S'QS.
Danach gelten in der Tat die Gleichungen (3), wie behauptet.
Man kann zusammenfassend sagen:
Satz I. Faßt man die Matrizenpaare Px, Qx, welche
aus einem Paare symmetrischer Matrizen P, Q — von
denen wenigstens eine regulär ist — simultan durch
kogrediente Transformationen (3) hervorgehen, zu einer
Familie äquivalenter Matrizenpaare zusammen -— die
Familie ist dann durch jedes ihrer Paare bestimmt —,
so ist der Familie nach (4) eine Klasse ähnlicher Ma-
trizen zugeordnet, und umgekehrt gehört zu jeder
Klasse eindeutig eine Familie.

2. Klassiiikationsproblem.

3. Gibt man eine Matrizenklasse durch einen ihrer Repräsen-
tanten, als der hier ihre Jordan sehe Normalform 21 gewählt sei,
so kommt es darauf an, nach Nr. 2 diese Matrix in ein Produkt
symmetrischer Matrizen zu zerlegen in der Form:

(io) 2i = n = D', | d I + o.

Eine solche Zerlegung ist aber leicht anzugeben. Die Jordan-
sche Normalform1) zerfällt in quadratische Länder, die zum gleichen
Eigenwerte Ah gehören, und jedes Land zerfällt in quadratische
Felder ?}hk von k Zeilen und Spalten:

(11)


Definiert man nun die quadratischen symmetrischen Matrizen von
k Zeilen und Spalten:

q Vgl. etwa Anmerkung 2, § 1, wo man weitere Literatur angegeben
findet.