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https://doi.org/10.11588/diglit.43635#0003
1. Herr Richard Baldus hat in diesen Sitzungsberichten
(Jahrg. 1929 Nr. 11) bewiesen, daß der EuLERsche Satz in der
hyperbolischen Geometrie nur in dem Sonderfall eines gleichschenk-
ligen Dreiecks gilt. Man scheint aber noch nicht bemerkt zu haben,
daß wenn die Höhen des Dreiecks durch gewisse Abstandslinien
ersetzt werden, die beim Übergang von der hyperbolischen zur
euklidischen Geometrie in die Höhen übergehen, fragliche Ab-
standslinien sich in einem Punkt schneiden, der auch bei einem
beliebigen Dreieck mit seinem Schwerpunkt und dem Mittelpunkt
seines Umkreises in einer Geraden liegt, ein Satz, der wohl als
hyperbolisches Gegenstück zum EuLERSchen Satz betrachtet
werden darf. In der euklidischen Geometrie gilt bekanntlich für
ein Tetraeder mit Höhenschnittpunkt ein dem EuLERschen ent-
sprechender Satz, und bei einem Tetraeder ohne Höhenschnitt-
punkt hat, wie man weiß, der sog. Punkt von Monge einzutreten.
Verwandte Sätze für ein Simplex in einem Raum von beliebig viel
Dimensionen habe ich seinerzeit für die euklidische Geometrie be-
wiesen x). Auch hierzu gibt es Gegenstücke in der hyperbolischen
Geometrie. Das folgende mag nicht nur den Nutzen der Punkt-
rechnung auf diesem Gebiete zeigen, sondern auch, wie durch Um-
deuten der Gleichungen, die zum Beweis von Sätzen der euklidischen
Geometrie gedient haben, zuweilen mit geringer Mühe neue Sätze
der nichteuklidischen Geometrie gefunden werden können. Der-
selbe Gedanke läßt sich auch verwenden, um z. B. Sätze der Linien-
geometrie und solche über Kurven und Flächen höheren Grades zu
finden, worauf aber hier nicht eingegangen werden soll.
2. Der einfachste analytische Beweis für den gewöhnlichen
Eulerschen Satz ist wohl folgender2). Bedeuten — als Punkte
mit dem Zahlwert eins — a, c die Ecken eines ebenen Dreiecks,
h seinen Höhenschnittpunkt, m den Mittelpunkt seines Umkreises
T) „Ausdehnung einiger elementarer Sätze über das ebene Dreieck auf
Räume von beliebig viel Dimensionen“, Archiv der Math. u. Physik Bd. 70
(1884), S. 210-218.
2) s. meine unter x) angeführte Abhandlung von 1884,
(Jahrg. 1929 Nr. 11) bewiesen, daß der EuLERsche Satz in der
hyperbolischen Geometrie nur in dem Sonderfall eines gleichschenk-
ligen Dreiecks gilt. Man scheint aber noch nicht bemerkt zu haben,
daß wenn die Höhen des Dreiecks durch gewisse Abstandslinien
ersetzt werden, die beim Übergang von der hyperbolischen zur
euklidischen Geometrie in die Höhen übergehen, fragliche Ab-
standslinien sich in einem Punkt schneiden, der auch bei einem
beliebigen Dreieck mit seinem Schwerpunkt und dem Mittelpunkt
seines Umkreises in einer Geraden liegt, ein Satz, der wohl als
hyperbolisches Gegenstück zum EuLERSchen Satz betrachtet
werden darf. In der euklidischen Geometrie gilt bekanntlich für
ein Tetraeder mit Höhenschnittpunkt ein dem EuLERschen ent-
sprechender Satz, und bei einem Tetraeder ohne Höhenschnitt-
punkt hat, wie man weiß, der sog. Punkt von Monge einzutreten.
Verwandte Sätze für ein Simplex in einem Raum von beliebig viel
Dimensionen habe ich seinerzeit für die euklidische Geometrie be-
wiesen x). Auch hierzu gibt es Gegenstücke in der hyperbolischen
Geometrie. Das folgende mag nicht nur den Nutzen der Punkt-
rechnung auf diesem Gebiete zeigen, sondern auch, wie durch Um-
deuten der Gleichungen, die zum Beweis von Sätzen der euklidischen
Geometrie gedient haben, zuweilen mit geringer Mühe neue Sätze
der nichteuklidischen Geometrie gefunden werden können. Der-
selbe Gedanke läßt sich auch verwenden, um z. B. Sätze der Linien-
geometrie und solche über Kurven und Flächen höheren Grades zu
finden, worauf aber hier nicht eingegangen werden soll.
2. Der einfachste analytische Beweis für den gewöhnlichen
Eulerschen Satz ist wohl folgender2). Bedeuten — als Punkte
mit dem Zahlwert eins — a, c die Ecken eines ebenen Dreiecks,
h seinen Höhenschnittpunkt, m den Mittelpunkt seines Umkreises
T) „Ausdehnung einiger elementarer Sätze über das ebene Dreieck auf
Räume von beliebig viel Dimensionen“, Archiv der Math. u. Physik Bd. 70
(1884), S. 210-218.
2) s. meine unter x) angeführte Abhandlung von 1884,