Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Über ein Gegenstück zum Eulerschen Satz vom ebenen Dreieck

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[(a — x) L] — 0 oder [xL] = [aL~],
so drückt sie aus, daß x denselben Abstand von L hat wie a. Der
geometrische Ort von x ist folglich die durch die Ecke a gehende
Abstandslinie L zum Mittellot L der Gegenseite. Nehmen wir die
durch die Ecke b gehende Abstandslinie M zum Mittellot M der
Seite ca und die durch c gehende Abstandslinie N zum Mittellot N
der Seite ab hinzu. Werden die Gleichungen dieser drei Abstands-
linien in der Form geschrieben:
<p(x) = (a — x) (b — c) = 0, y)(x) = (b — x) t (c — a) — 0,
%(z) = (c—x) \ (a~b) = 0,
so erkennt man, daß identisch
(4) cp(x) + yj(x) + %(x) = 0
ist. Mithin schneiden sich die genannten drei Ab Standslinien in einem
und demselben Punkt h5). Er könnte der Abstandspunkt oder
auch der Scheinhöhen-Schnittpunkt des Dreiecks genannt werden.
4. In der nichteuklidischen Geometrie bekommen die Punkte m
und 5 andere Zahlwerte, als in der euklidischen, weshalb wir jetzt
(z -p b -f- c = ots,
also auch in (3) nun as statt 35 schreiben wollen. Die Form der
Gleichung (2) dagegen kann beibehalten werden, denn wenn man
auch etwa y statt 2m schriebe, so wäre mit y als veränderlichem
Punkt
(b 4- c — y)\(b — c) = 0
wieder die Gleichung des Mittellots L zu bc. Setzt man, wie es
wegen der veränderten Bedeutung von (1) nötig wird in (3) und
in die entsprechenden, zu den Seiten ca und ab gehörenden Glei-
chungen für den wahren Höhenschnittpunkt h den Scheinhöhen-
Schnittpunkt h ein, so besagen die Gleichungen
(es — h — 2m) 1 (b — c) = 0, (<xs — h ■— 2m) (c — a) = 0,
(ers — h — 2m) (a -— b) =• 0,
daß der in der ersten Klammer stehende Punkt gleichzeitig in den
Mittelloten

5) Es ist natürlich angenommen, daß man beim Durchlaufen der Ab-
standslinien L, M, N jedesmal auf derselben Seite des betreffenden Mittellots
bleibt, also den absoluten Kegelschnitt, das „Unendliche“, nicht überschreitet.
In der elliptischen Geometrie ergeben sich offenbar zwei reelle Punkte hr und hz,
als gemeinsame Punkte der zufolge (4) einem Büschel angehörenden Kurven
zu den Gleichungen ^(a:) = 0, ^(a:) = 0, ^(a;) = 0. Siehe auch Anm. 6,