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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0013
Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche
Gruppen im Bereich der ganzen algebraischen Zahlen.
Von Wolfgang Krull in Erlangen.
Während die Elementarteilertheorie der ganz-rationalzahligen
Matrizen schon lange bekannt und schon oft behandelt ist, wurde
die entsprechende Theorie für Matrizen aus ganzen algebraischen
Zahlen erst 1912 von E. Steinitz in zwei großen Arbeiten ent-
wickelt x). Im folgenden sollen die Steinitzschen Sätze auf einem
besonders einfachen Wege mit einem Minimum von Hilfssätzen
neu abgeleitet werden.
Bekanntlich kann man die Hauptsätze über ganz-rational-
zahlige Matrizen sehr leicht dadurch gewinnen, daß man eine vor-
gelegte Matrix durch eine Reihe von „Elementartransformationen“
auf eine durch die Elementarteiler allein eindeutig bestimmte
Normalform bringt, die (als Diagonalmatrix) in einrangige Ma-
trizen zerlegbar und somit besonders einfach gebaut ist. Man hat
dabei den Vorteil, daß man jeden einzelnen Schritt genau übersieht
und das Rechnen mit Determinanten fast vollständig vermeidet. —
Wir zeigen nun daß dieser (von Steinitz nicht beschrittene) Weg
auch dann sehr rasch zum Ziele führt, wenn man es mit Matrizen
aus ganzen algebraischen Zahlen zu tun hat. Man darf sich nur
nicht von vornherein auf Matrizen mit einer festen Zeilenzahl be-
schränken; weil nämlich in einem endlichen algebraischen Zahl-
körper i • a ■ nicht jedes Ideal Hauptideal ist, muß man zur Kon-
struktion einer zerlegbaren Normalform u. U. die ursprünglich
gegebene Zeilenzahl vergrößern. Was das Determinantenrechnen
angeht, so hat man viel mit zweireihigen Determinanten zu ar-
beiten; Determinanten beliebigen Grades dagegen braucht man im
wesentlichen nur zur Definition der Elementarteiler und der Ma-
9 Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern I
bzw. II, Math. Annalen 71, S. 328—354 bzw. 72, S. 297—345. Zitiert mit
„St. I.“ bzw. „St. II.“.
Vgl. auch: H. Wolff, Linearformenmoduln und Matrizen in algebraischen
Zahlkörpern. Dissertation Freiburg i. Br. 1924, autographiert.
Gruppen im Bereich der ganzen algebraischen Zahlen.
Von Wolfgang Krull in Erlangen.
Während die Elementarteilertheorie der ganz-rationalzahligen
Matrizen schon lange bekannt und schon oft behandelt ist, wurde
die entsprechende Theorie für Matrizen aus ganzen algebraischen
Zahlen erst 1912 von E. Steinitz in zwei großen Arbeiten ent-
wickelt x). Im folgenden sollen die Steinitzschen Sätze auf einem
besonders einfachen Wege mit einem Minimum von Hilfssätzen
neu abgeleitet werden.
Bekanntlich kann man die Hauptsätze über ganz-rational-
zahlige Matrizen sehr leicht dadurch gewinnen, daß man eine vor-
gelegte Matrix durch eine Reihe von „Elementartransformationen“
auf eine durch die Elementarteiler allein eindeutig bestimmte
Normalform bringt, die (als Diagonalmatrix) in einrangige Ma-
trizen zerlegbar und somit besonders einfach gebaut ist. Man hat
dabei den Vorteil, daß man jeden einzelnen Schritt genau übersieht
und das Rechnen mit Determinanten fast vollständig vermeidet. —
Wir zeigen nun daß dieser (von Steinitz nicht beschrittene) Weg
auch dann sehr rasch zum Ziele führt, wenn man es mit Matrizen
aus ganzen algebraischen Zahlen zu tun hat. Man darf sich nur
nicht von vornherein auf Matrizen mit einer festen Zeilenzahl be-
schränken; weil nämlich in einem endlichen algebraischen Zahl-
körper i • a ■ nicht jedes Ideal Hauptideal ist, muß man zur Kon-
struktion einer zerlegbaren Normalform u. U. die ursprünglich
gegebene Zeilenzahl vergrößern. Was das Determinantenrechnen
angeht, so hat man viel mit zweireihigen Determinanten zu ar-
beiten; Determinanten beliebigen Grades dagegen braucht man im
wesentlichen nur zur Definition der Elementarteiler und der Ma-
9 Rechteckige Systeme und Moduln in algebraischen Zahlkörpern I
bzw. II, Math. Annalen 71, S. 328—354 bzw. 72, S. 297—345. Zitiert mit
„St. I.“ bzw. „St. II.“.
Vgl. auch: H. Wolff, Linearformenmoduln und Matrizen in algebraischen
Zahlkörpern. Dissertation Freiburg i. Br. 1924, autographiert.