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https://doi.org/10.11588/diglit.43638#0027
Matrizen, Moduln und verallgemeinerte Abelsche Gruppen usw.
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Beim Beweis von Satz 12 dürfen wir uns auf den Fall be-
schränken, daß B = A* die zu A im Sinne von § 6 gehörige Normal-
form darstellt. Denn A* hat jedenfalls nicht mehr von 0 verschiedene
Spalten als irgend eine äquivalente Matrix und kann daher gleich-
zeitig mit A und B als n-spaltig angesehen werden. — Die Be-
stimmung von P und Q zu A und A* ist nun offenbar immer dann
möglich, wenn wir beim schrittweisen Übergang von A zu d* niemals
in die Zwangslage versetzt werden, durch hintere Multiplikation mit
einer e-Matrix eine neue Spalte anhängen zu müssen. Eine genaue
Analyse des Beweises von Satz 11 zeigt weiter, daß bei der dort
beschriebenen Transformation von A in A* alle hinteren Multiplika-
tionen nur den Zweck haben, gewisse einrangige Matrizen auf die
Normalform zu bringen. Daraus folgt:
Satz 12 braucht nur für den Fall bewiesen zu werden, daß A ein-
rangig ist und B = A* die Normalform von A darstellt. In diesem
Spezialfall ergibt sich aber die Richtigkeit von Satz 12 sofort aus
den nachstehenden zwei Hilfssätzen.
Hilfssatz 1. Die einrangige Matrix
A = II aik\\ (i = 1, . . .m-k = 1, . . . n)
mit der Normalform A* — ,| 01 °2
11 y ■ «i> y • a%
ohne Spaltenanhängung in eine Matrix
kann stets unimodular
C ~ L ,c v . c ■> (ci5 G) — (öi> A)
II7 g> y c21
transformiert werden.
Hilfssatz 2 17). Ist «2) = (ci, «2), so siets eine Gleichung
IKII = IIgI! • IIPikW (i, k = i, 2) mit \pik\ = 1.
Beweis von Hilfssatz 1: a) Nach Behauptung a) des Beweises
von Satz 9 gilt eine Gleichung P • A = d . «u . . . d . aln .
! y • d • an • • • y • d • «Xn |
\P \ =1, (n1,a2) = (d • «n, . . . d ■ tzln). — b) Nach Satz 4 kann man
eine u-Matrix <2 des Grades n so finden, daß für P ■ A • Q =
17) Hilfssatz 2 ist der einfachste Spezialfall des Satzes II von St. II
Nr. 66, S. 341. — Es wäre zu untersuchen, ob man auch dann mit dem Hilfs-
satz 2 allein durchkommt, wenn man nicht nur wie im Text hintere, sondern
wie in St. II doppelseitige Normierbarkeit der Transformation äquivalenter
Matrizen ineinander beweisen will. In den Rahmen des Textes gehört diese
Frage nicht, da bei der Transformation von A auf die Normalform A* die
Zufügung von Zeilen u. U. unvermeidlich ist.
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Beim Beweis von Satz 12 dürfen wir uns auf den Fall be-
schränken, daß B = A* die zu A im Sinne von § 6 gehörige Normal-
form darstellt. Denn A* hat jedenfalls nicht mehr von 0 verschiedene
Spalten als irgend eine äquivalente Matrix und kann daher gleich-
zeitig mit A und B als n-spaltig angesehen werden. — Die Be-
stimmung von P und Q zu A und A* ist nun offenbar immer dann
möglich, wenn wir beim schrittweisen Übergang von A zu d* niemals
in die Zwangslage versetzt werden, durch hintere Multiplikation mit
einer e-Matrix eine neue Spalte anhängen zu müssen. Eine genaue
Analyse des Beweises von Satz 11 zeigt weiter, daß bei der dort
beschriebenen Transformation von A in A* alle hinteren Multiplika-
tionen nur den Zweck haben, gewisse einrangige Matrizen auf die
Normalform zu bringen. Daraus folgt:
Satz 12 braucht nur für den Fall bewiesen zu werden, daß A ein-
rangig ist und B = A* die Normalform von A darstellt. In diesem
Spezialfall ergibt sich aber die Richtigkeit von Satz 12 sofort aus
den nachstehenden zwei Hilfssätzen.
Hilfssatz 1. Die einrangige Matrix
A = II aik\\ (i = 1, . . .m-k = 1, . . . n)
mit der Normalform A* — ,| 01 °2
11 y ■ «i> y • a%
ohne Spaltenanhängung in eine Matrix
kann stets unimodular
C ~ L ,c v . c ■> (ci5 G) — (öi> A)
II7 g> y c21
transformiert werden.
Hilfssatz 2 17). Ist «2) = (ci, «2), so siets eine Gleichung
IKII = IIgI! • IIPikW (i, k = i, 2) mit \pik\ = 1.
Beweis von Hilfssatz 1: a) Nach Behauptung a) des Beweises
von Satz 9 gilt eine Gleichung P • A = d . «u . . . d . aln .
! y • d • an • • • y • d • «Xn |
\P \ =1, (n1,a2) = (d • «n, . . . d ■ tzln). — b) Nach Satz 4 kann man
eine u-Matrix <2 des Grades n so finden, daß für P ■ A • Q =
17) Hilfssatz 2 ist der einfachste Spezialfall des Satzes II von St. II
Nr. 66, S. 341. — Es wäre zu untersuchen, ob man auch dann mit dem Hilfs-
satz 2 allein durchkommt, wenn man nicht nur wie im Text hintere, sondern
wie in St. II doppelseitige Normierbarkeit der Transformation äquivalenter
Matrizen ineinander beweisen will. In den Rahmen des Textes gehört diese
Frage nicht, da bei der Transformation von A auf die Normalform A* die
Zufügung von Zeilen u. U. unvermeidlich ist.