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https://doi.org/10.11588/diglit.43640#0005
Über die Berechnung von Orthogonen der hyperbolischen Ebene
5
Größen treten auf: für den Winkel das gemeinsame Lot der genann-
ten — nun hyperparallelen — Seiten, für die Seiten aber die Ab-
schnitte, gerechnet von beiden anliegenden Ecken bis zu bezüglichen
Fußpunkten jenes gemeinsamen Lotes. Die analytische Beziehung
zwischen jenen imaginären Größen und ihren reellen Vertretern
könnte man durch Vergleichung der diesbezüglichen Formeln für
das und das Gl sehr leicht erhalten, wie dies Herr Roeser tat-
sächlich ausführte 1). Indessen genügt dies Verfahren für unsere
Zwecke keineswegs. Wir wünschen nämlich die Orthogonalisation
2. Art auf irgendwelche Vielecke (nicht nur auf Dreiecke) anwenden.
Es wird also notwendig, die Formeln, die diese Operation analytisch
wiedergeben, unabhängig von jeglichem Vieleck herzuleiten, so
daß sie dann auf jedes Vieleck anwendbar sein werden.
Zu diesem Zwecke bedienen wir uns eines „kartesischen“
Koordinatensystems in der h. E. Seien OX und OY zwei zueinander
senkrechte Geraden durch den Anfangspunkt 0. Ist dann M irgend-
ein Punkt der Ebene, P und Q seine Projektionen auf der Achse OX
bzw. OY, so wird seine Lage bekanntermaßen durch das Zahlen-
paar x — th p,y = thq gegeben, wo p und q die Verhältnisse der
Strecken OP und OQ zur absoluten Strecke K der h. E. bedeuten.
Die Gleichung der geraden Linie lautet nun2): uxvy—-1 = 0,
und zwei solche Linien
gl = + cxy —’l = 0, g2 = u2x + c2y — 1 = 0
schneiden sich, sind zueinander parallel bzw. hyperparallel, je
nachdem 3) (izf p2 _ . ^2 + + piP2_^2gQ
ist. Im ersten Falle gilt für den Winkel cp der Geraden gx, g2 die
Formel 4):
(1) tg (p — + pi 1) (u2 + p2 — 1) — (^i»2 + GA2 — l)2
n2 C2 — 1
im dritten aber für ihr gemeinsames Lot d5):
thd = + pi ^2 l)2 (ui — 1)(m2 + — £)
u2 + cx p2 — 1
1) E. Roeser, Das rechtwinklige Fünfeck der hyperbolischen Ebene und
die Engel-Napiersche Regel, Journal f. d. r. u. a. Math., 154, 1925.
2) Vgl. Q. Vörös, Analitika geometrio absoluta I, Budapest 1911, S. 15.
3) Ebenda S. 19.
4) Ebenda S. 18.
5) Ebenda S. 20.
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Größen treten auf: für den Winkel das gemeinsame Lot der genann-
ten — nun hyperparallelen — Seiten, für die Seiten aber die Ab-
schnitte, gerechnet von beiden anliegenden Ecken bis zu bezüglichen
Fußpunkten jenes gemeinsamen Lotes. Die analytische Beziehung
zwischen jenen imaginären Größen und ihren reellen Vertretern
könnte man durch Vergleichung der diesbezüglichen Formeln für
das und das Gl sehr leicht erhalten, wie dies Herr Roeser tat-
sächlich ausführte 1). Indessen genügt dies Verfahren für unsere
Zwecke keineswegs. Wir wünschen nämlich die Orthogonalisation
2. Art auf irgendwelche Vielecke (nicht nur auf Dreiecke) anwenden.
Es wird also notwendig, die Formeln, die diese Operation analytisch
wiedergeben, unabhängig von jeglichem Vieleck herzuleiten, so
daß sie dann auf jedes Vieleck anwendbar sein werden.
Zu diesem Zwecke bedienen wir uns eines „kartesischen“
Koordinatensystems in der h. E. Seien OX und OY zwei zueinander
senkrechte Geraden durch den Anfangspunkt 0. Ist dann M irgend-
ein Punkt der Ebene, P und Q seine Projektionen auf der Achse OX
bzw. OY, so wird seine Lage bekanntermaßen durch das Zahlen-
paar x — th p,y = thq gegeben, wo p und q die Verhältnisse der
Strecken OP und OQ zur absoluten Strecke K der h. E. bedeuten.
Die Gleichung der geraden Linie lautet nun2): uxvy—-1 = 0,
und zwei solche Linien
gl = + cxy —’l = 0, g2 = u2x + c2y — 1 = 0
schneiden sich, sind zueinander parallel bzw. hyperparallel, je
nachdem 3) (izf p2 _ . ^2 + + piP2_^2gQ
ist. Im ersten Falle gilt für den Winkel cp der Geraden gx, g2 die
Formel 4):
(1) tg (p — + pi 1) (u2 + p2 — 1) — (^i»2 + GA2 — l)2
n2 C2 — 1
im dritten aber für ihr gemeinsames Lot d5):
thd = + pi ^2 l)2 (ui — 1)(m2 + — £)
u2 + cx p2 — 1
1) E. Roeser, Das rechtwinklige Fünfeck der hyperbolischen Ebene und
die Engel-Napiersche Regel, Journal f. d. r. u. a. Math., 154, 1925.
2) Vgl. Q. Vörös, Analitika geometrio absoluta I, Budapest 1911, S. 15.
3) Ebenda S. 19.
4) Ebenda S. 18.
5) Ebenda S. 20.