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https://doi.org/10.11588/diglit.43640#0009
Über die Berechnung von Orthogonen der hyperbolischen Ebene
9
sin % — ishky^
sha = -4- char,
1
shb = chbA,
i
(10) ■
cos x — cAkx,
cha = —r shat ,
1
chb = — shb-,,
i
. tg x = ithky;
. tha = cthax,
. thb = cthb-L
dargestellt. An die vierte Formel (9) auf alle möglichen Weisen
angewandt liefert sie für unseres Gj folgende Formeln:
'shc-^ sin /zx = — (cha1shb1 — shaichb1chk1) sin rx — cos (^chb^hk-^
chax shk-t = (shc1chd1 — chcxshdx cos ^x) sin Ax — cos Xxshdr sin <ux,
shd-t sin rx = (chb^chc^ —shb^h^ cos 2X) shk± — chk^shc-^ sin Ax,
chb1 sin 2X = {shd-^shc^ — chd1cha1 cos rx) sin/zx — cos /n1cha1 sin v1.
Es werden so aus (9) im ganzen 16 verschiedene Formeln für das
Gg erhalten. An dieser Stelle machen wir wiederum darauf auf-
merksam, daß es noch einen anderen Typus von Gf gibt, bei dem
nämlich die rechten Winkel getrennt liegen und der erst aus dem
G°5 abgeleitet werden kann.
Durch Substitutionen, die analog (10) gebaut sind, kann man
die Formeln für ein Gg, daraus diejenigen für das G® und endlich
diejenigen für das Gf ableiten. Man könnte sogar aus den Formeln
für das G± diejenigen für das G$ oder G® oder Gl direkt erhalten
durch Zusammensetzung der betreffenden Substitutionen.
Es wird danach klar, wie die Vielecke auch jeder der folgenden
Scharen k — l zu behandeln sind: Man stellt die Formeln der Grund-
figur G°n auf und orthogonalisiert sie in 1. Art um diejenigen
für das G„ zu erhalten; darauf leitet man die Formeln für zwei
Orthogonreihen durch Anwendung von lauter Orthogonalisationen
2. Art ab, die eine Reihe mit G°, die andere mit G„ beginnend;
zur Kontrolle bringt man endlich beide Reihen in gegenseitige Be-
ziehungen und stellt den Anschluß an die vorhergehende Schar her.
5. Es sollen nun einige Bemerkungen über die Formeln einer
Grundfigur folgen. Da führen wir zuerst, und zwar ohne Beweis an,
S/Vz _1.
daß esbzw. — Q— voneinander verschiedene Formeln für das
G„ gibt, je nachdem n gerade oder ungerade ist. Das einzusehen,
fällt nicht schwer und ist eigentlich eine Aufgabe der elementaren
Kombinatorik. Der Ausdruck für die entsprechende Zahl im Falle
eines Grn(r R= 0) wird schon komplizierter ausfallen, ist. jedoch
wiederum allein mit den Mitteln der Kombinatorik zu gewinnen.
Man muß da vor allem drei Fälle unterscheiden, je nachdem r = n — 2
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sin % — ishky^
sha = -4- char,
1
shb = chbA,
i
(10) ■
cos x — cAkx,
cha = —r shat ,
1
chb = — shb-,,
i
. tg x = ithky;
. tha = cthax,
. thb = cthb-L
dargestellt. An die vierte Formel (9) auf alle möglichen Weisen
angewandt liefert sie für unseres Gj folgende Formeln:
'shc-^ sin /zx = — (cha1shb1 — shaichb1chk1) sin rx — cos (^chb^hk-^
chax shk-t = (shc1chd1 — chcxshdx cos ^x) sin Ax — cos Xxshdr sin <ux,
shd-t sin rx = (chb^chc^ —shb^h^ cos 2X) shk± — chk^shc-^ sin Ax,
chb1 sin 2X = {shd-^shc^ — chd1cha1 cos rx) sin/zx — cos /n1cha1 sin v1.
Es werden so aus (9) im ganzen 16 verschiedene Formeln für das
Gg erhalten. An dieser Stelle machen wir wiederum darauf auf-
merksam, daß es noch einen anderen Typus von Gf gibt, bei dem
nämlich die rechten Winkel getrennt liegen und der erst aus dem
G°5 abgeleitet werden kann.
Durch Substitutionen, die analog (10) gebaut sind, kann man
die Formeln für ein Gg, daraus diejenigen für das G® und endlich
diejenigen für das Gf ableiten. Man könnte sogar aus den Formeln
für das G± diejenigen für das G$ oder G® oder Gl direkt erhalten
durch Zusammensetzung der betreffenden Substitutionen.
Es wird danach klar, wie die Vielecke auch jeder der folgenden
Scharen k — l zu behandeln sind: Man stellt die Formeln der Grund-
figur G°n auf und orthogonalisiert sie in 1. Art um diejenigen
für das G„ zu erhalten; darauf leitet man die Formeln für zwei
Orthogonreihen durch Anwendung von lauter Orthogonalisationen
2. Art ab, die eine Reihe mit G°, die andere mit G„ beginnend;
zur Kontrolle bringt man endlich beide Reihen in gegenseitige Be-
ziehungen und stellt den Anschluß an die vorhergehende Schar her.
5. Es sollen nun einige Bemerkungen über die Formeln einer
Grundfigur folgen. Da führen wir zuerst, und zwar ohne Beweis an,
S/Vz _1.
daß esbzw. — Q— voneinander verschiedene Formeln für das
G„ gibt, je nachdem n gerade oder ungerade ist. Das einzusehen,
fällt nicht schwer und ist eigentlich eine Aufgabe der elementaren
Kombinatorik. Der Ausdruck für die entsprechende Zahl im Falle
eines Grn(r R= 0) wird schon komplizierter ausfallen, ist. jedoch
wiederum allein mit den Mitteln der Kombinatorik zu gewinnen.
Man muß da vor allem drei Fälle unterscheiden, je nachdem r = n — 2