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https://doi.org/10.11588/diglit.43640#0010
10
R. Cesarec:
ist, da man so einzelne Möglichkeiten der Seiten- bzw. Winkelanzahl
besser überschauen kann. Wir wollen die Formelanzahl nur für
einige besonders einfache hierher gehörige Fälle anführen, und zwar
für diejenige, wo in der Formel lauter Seiten vorkommen. So gibt
es im Falle r = n — 2 immer eine einzige solche Formel, im Falle
r = n — 1 gibt es deren Q für gerades n bzw. —— für ungerades,
während der Fall r = n, d. h. der der Vollorthogone,
n
2
Formeln aufweist; im letzten Falle gibt es überhaupt keine weiteren
Formeln.
Mit der Frage nach der Anzahl aller hängt diejenige nach der
Anzahl voneinander unabhängiger Formeln eines G„. Doch soll
dies nur erwähnt bleiben.
Wir wollen vielmehr das Problem der Polarisation eines
Polygons der h. E. kurz berühren. Wie bekannt, ist in der sphä-
rischen Ebene jedem Vieleck ein gewisses anderes, zu ihm polares,
zugeordnet; es wird aus jenem nach der elementaren Definition
erhalten, indem man als seine Seiten bzw. Winkel die Supplemente
der entsprechenden Winkel bzw. Seiten des gegebenen nimmt.
Wenn also oc den Winkel, a die ihm entsprechende Seite bedeutet,
so gilt die Beziehung oc + a — n. Die analoge Relation in der h. E.
lautet oc + ia — %, woraus folgt, daß von zwei polaren Vielecken
der h. E. das eine immer reell, das andere imaginär wird.
Auf Grund dieser letzten Gleichung kann man sehr leicht die
Formeln der polaren Figur z. B. eines Dreiecks («, Z>, c, A, /z, v)
erhalten. Dabei stellt man fest, daß die Formeln des polaren Dreiecks
(Z, m, zz, oc, ß,y) äquivalent mit denjenigen des ursprünglichen
erscheinen. Überhaupt werden die Formeln für jedes G„ als Ganzes
durch die Polarisation reproduziert. Durch diesen Umstand wird
freilich die Aufstellung des Formelsystems der jedesmaligen Grund-
figur G„ wesentlich vereinfacht: man braucht nur jede soeben
gewonnene Formel sofort zu polarisieren um eine neue oder wenigstens
dieselbe zu erhalten.
Schließlich soll noch hervorgehoben werden, daß die Formeln
für gewisse (nicht alle!) Grn der h. E. sich sehr bequem in die sphä-
rische Ebene übertragen lassen, indem man die h. E. als eine
Kugelfläche mit imaginärem Halbmesser auffaßt.
6. Das Wesen der komplementären Figuren der h. E. be-
steht in der eineindeutigen Zuordnung ihrer Stücke, so daß gewisse
R. Cesarec:
ist, da man so einzelne Möglichkeiten der Seiten- bzw. Winkelanzahl
besser überschauen kann. Wir wollen die Formelanzahl nur für
einige besonders einfache hierher gehörige Fälle anführen, und zwar
für diejenige, wo in der Formel lauter Seiten vorkommen. So gibt
es im Falle r = n — 2 immer eine einzige solche Formel, im Falle
r = n — 1 gibt es deren Q für gerades n bzw. —— für ungerades,
während der Fall r = n, d. h. der der Vollorthogone,
n
2
Formeln aufweist; im letzten Falle gibt es überhaupt keine weiteren
Formeln.
Mit der Frage nach der Anzahl aller hängt diejenige nach der
Anzahl voneinander unabhängiger Formeln eines G„. Doch soll
dies nur erwähnt bleiben.
Wir wollen vielmehr das Problem der Polarisation eines
Polygons der h. E. kurz berühren. Wie bekannt, ist in der sphä-
rischen Ebene jedem Vieleck ein gewisses anderes, zu ihm polares,
zugeordnet; es wird aus jenem nach der elementaren Definition
erhalten, indem man als seine Seiten bzw. Winkel die Supplemente
der entsprechenden Winkel bzw. Seiten des gegebenen nimmt.
Wenn also oc den Winkel, a die ihm entsprechende Seite bedeutet,
so gilt die Beziehung oc + a — n. Die analoge Relation in der h. E.
lautet oc + ia — %, woraus folgt, daß von zwei polaren Vielecken
der h. E. das eine immer reell, das andere imaginär wird.
Auf Grund dieser letzten Gleichung kann man sehr leicht die
Formeln der polaren Figur z. B. eines Dreiecks («, Z>, c, A, /z, v)
erhalten. Dabei stellt man fest, daß die Formeln des polaren Dreiecks
(Z, m, zz, oc, ß,y) äquivalent mit denjenigen des ursprünglichen
erscheinen. Überhaupt werden die Formeln für jedes G„ als Ganzes
durch die Polarisation reproduziert. Durch diesen Umstand wird
freilich die Aufstellung des Formelsystems der jedesmaligen Grund-
figur G„ wesentlich vereinfacht: man braucht nur jede soeben
gewonnene Formel sofort zu polarisieren um eine neue oder wenigstens
dieselbe zu erhalten.
Schließlich soll noch hervorgehoben werden, daß die Formeln
für gewisse (nicht alle!) Grn der h. E. sich sehr bequem in die sphä-
rische Ebene übertragen lassen, indem man die h. E. als eine
Kugelfläche mit imaginärem Halbmesser auffaßt.
6. Das Wesen der komplementären Figuren der h. E. be-
steht in der eineindeutigen Zuordnung ihrer Stücke, so daß gewisse