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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0004
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Lothar Heffter:
Punkt 0 gedreht werden, daß alle Geraden durch 0 sich um den-
selben Winkel drehen.)
Da nach der Definition Parallele bei der Bewegung der Ebene
parallel bleiben, folgt: Die Bewegung der in sich starren Ebene ist
eine solche Kollineation, bei der die uneigentliche Gerade u invariant
bleibt, d. h. eine ajjine Transformation.
II. Aufgaben in der Parallelgeometrie.
1. Mittelpunkt M einer eigentlichen Strecke AB ist nach Defini-
tion (Art. 45) der vierte harmonische Punkt zu AB, U, wenn U
der uneigentliche Punkt der Geraden AB ist. Bei der Bewegung der
Ebene, die A und B miteinander vertauscht, bleibt, wie leicht zu
zeigen, U invariant, also auch M. Also ist AM MB. 2)
2. Kongruenz der Scheitelwinkel: Sind a und b zwei sich in 0
schneidende Gerade und dreht man die Ebene um 0, bis a mit sich
selbst zusammenfällt, so gilt das auch von b.
3. Mittellinie m eines Parallelenpaares a || b ist nach Definition
der vierte harmonische Strahl m zu ab, u. Eine beliebige, zu a, b
nicht parallele Gerade s mit uneigentlichem Punkt Su schneide a, b,
m in den Punkten A, B, M. Da AB, MSU harmonisch, ist M die
Mitte von AB. Dreht man die Ebene um AI, bis s mit sich selbst
zusammenfällt, so gilt dasselbe von m. Dabei haben sich A und B
vertauscht, ebenso aber auch a und b. Also sind die beiden Streifen
am und bm kongruent.
4. Gleichheit paralleler Strecken. Das Verhältnis zweier parallelen
Strecken AB j| CD wird (Art. 145) definiert durch die Gleichung
AB : CD = (ACSUJ = (BDSUJ,
wo S der Schnittpunkt von AC und BD, Ux der uneigentliche Punkt
von AC, U2 der von BD ist. Beide Doppelverhältnisse werden dann
und nur dann = 1, wenn 5 = t/j = U2, d. h. AC BD. Also folgt
aus der Definition: Parallele Strecken sind gleich, wenn sie Gegen-
seiten in einem Parallelogramm sind. Ist nun im Parallelogramm
ABCD M der Mittelpunkt von BC und dreht man die Ebene um M,
bis sich B und C vertauscht haben, so haben sich wie bei II. 3. auch
die Parallelen AB und CD und ebenso die Parallelen AC und BD,
also die Punkte A und D miteinander vertauscht. Also ist AB s CD
und AC = BD.
2) Vgl. F. Enriques, Vorlesungen über projektive Geometrie. Deutsch
von H. Fleischer, Leipzig, 1903, S. 65 f.
Lothar Heffter:
Punkt 0 gedreht werden, daß alle Geraden durch 0 sich um den-
selben Winkel drehen.)
Da nach der Definition Parallele bei der Bewegung der Ebene
parallel bleiben, folgt: Die Bewegung der in sich starren Ebene ist
eine solche Kollineation, bei der die uneigentliche Gerade u invariant
bleibt, d. h. eine ajjine Transformation.
II. Aufgaben in der Parallelgeometrie.
1. Mittelpunkt M einer eigentlichen Strecke AB ist nach Defini-
tion (Art. 45) der vierte harmonische Punkt zu AB, U, wenn U
der uneigentliche Punkt der Geraden AB ist. Bei der Bewegung der
Ebene, die A und B miteinander vertauscht, bleibt, wie leicht zu
zeigen, U invariant, also auch M. Also ist AM MB. 2)
2. Kongruenz der Scheitelwinkel: Sind a und b zwei sich in 0
schneidende Gerade und dreht man die Ebene um 0, bis a mit sich
selbst zusammenfällt, so gilt das auch von b.
3. Mittellinie m eines Parallelenpaares a || b ist nach Definition
der vierte harmonische Strahl m zu ab, u. Eine beliebige, zu a, b
nicht parallele Gerade s mit uneigentlichem Punkt Su schneide a, b,
m in den Punkten A, B, M. Da AB, MSU harmonisch, ist M die
Mitte von AB. Dreht man die Ebene um AI, bis s mit sich selbst
zusammenfällt, so gilt dasselbe von m. Dabei haben sich A und B
vertauscht, ebenso aber auch a und b. Also sind die beiden Streifen
am und bm kongruent.
4. Gleichheit paralleler Strecken. Das Verhältnis zweier parallelen
Strecken AB j| CD wird (Art. 145) definiert durch die Gleichung
AB : CD = (ACSUJ = (BDSUJ,
wo S der Schnittpunkt von AC und BD, Ux der uneigentliche Punkt
von AC, U2 der von BD ist. Beide Doppelverhältnisse werden dann
und nur dann = 1, wenn 5 = t/j = U2, d. h. AC BD. Also folgt
aus der Definition: Parallele Strecken sind gleich, wenn sie Gegen-
seiten in einem Parallelogramm sind. Ist nun im Parallelogramm
ABCD M der Mittelpunkt von BC und dreht man die Ebene um M,
bis sich B und C vertauscht haben, so haben sich wie bei II. 3. auch
die Parallelen AB und CD und ebenso die Parallelen AC und BD,
also die Punkte A und D miteinander vertauscht. Also ist AB s CD
und AC = BD.
2) Vgl. F. Enriques, Vorlesungen über projektive Geometrie. Deutsch
von H. Fleischer, Leipzig, 1903, S. 65 f.