Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Charakterisierung einer in der mathematischen Physik
auftretenden Schar von Funktionen zweier Variablen
durch eine quadratische Integralgleichung.
Von Gustav Doetsch in Freiburg i. Br.

e

FJO * F2 (Z) = J7Q(t) F2 (t — x)dx
o
benutzt, in der übersichtlichen Gestalt schreiben läßt:

1
LT
^+1

]/tt2^Z 2
wo 77/((z) das /zte HERMiTEschePolynom bedeutet

Aus der bekannten Quellenfunktion der Wärmeleitungstheorie
1 x2
%(x,t) = —e 4< (rr = 0, t > 0)
entspringt durch wiederholte Differentiation nach x die Funktionen-
schar :

0W (x, Z)

U)
(dFe~z2 A
= H(z)e-z .
\ cFF /
Alle diese Funktionen haben die bemerkenswerte Eigenschaft,
in gewissen Gebieten der rcZ-Ebene der Wärmeleitungsgleichung
027/ 0F
= — zu genügen und bei senkrechter Annäherung an die
ox2 dt
Ränder überall den Randwerten 0 zuzustreben, und zwar die //f
mit geradem Index in der Halbebene t > 0, die mit ungeradem
Index in der Viertelebene x > 0, t > 0 x). Für die spezielle Funktion
x --
- ZiCg 0 = „ 3 e 4t = ip (x, Z), die in der Wärmeleitungs-
2y 7i t12
theorie als Temperaturverteilung bei einer Doppelquelle in x = 0
auftritt, hatte Cesaro schon 1902 ein merkwürdiges transzendentes
Additionstheorem abgeleitet, das sich, wenn man die symbolische
Abkürzung

V’CG Z) * Z) = + y, Z) (x, y > 0, t> 0).
In der unter x) zitierten Arbeit (1930) wurde nun gezeigt, daß die
ganze Schar Z) einer Integralgleichung von derselben Rauart
genügt:

0 G. Doetsch, Integraleigenschaften der HERMiTEschen Polynome.
Math. Zeitschr. 32 (1930) S. 587—599 [Anm. 11), S. 596], Übrigens ist auch