Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Charakterisierung einer in der mathematischen Physik auftretenden Schar usw.

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Die Gesamtheit aller (für reelle x und t reellwertigen) Funktionen,
die der quadratischen Integralgleichung (/), der linearen Transfor-
mationsformel (II) und der asymptotischen Abschätzung (III) ge-
nügen, wird dargestellt durch
0 = - 0,
■wo q beliebig reell, p > 0 ist 3).
Den Beweis führen wir so, daß wir durch eine Funktional-
transformation den Funktionen 0^, die (III) genügen, Funktionen
9? eines anderen Feldes zuordnen, und dadurch die Forderungen
(I), (II) in gewisse andere (la), (Ila) „übersetzen“, die sich ele-
mentar befriedigen lassen. Wegen (III) besitzt jedes d>^(x, t)
•eine für fRs > k absolut konvergente LAPLACE-Transformierte
CO
0} = f ^st^M(x, t) dt = cpß(x, s).
0
Die bekannten, bzw. leicht beweisbaren Eigenschaften der Laplace-
Transformation:
SfF’i * F,} = • S{E2},
wenn ßfEJ und £{F2} absolut konvergieren;
zeigen uns, daß den Forderungen (I), (II) im Felde der (p die
folgenden algebraischen Funktionalgleichungen entsprechen:

(la)
wCf s) ■ vM s) = + y,*)
(ZG D /^ + v -
- 1; z, ?/ > 0),
(Ha)
j = 5).
Setzen wir
1g 1 s) i
so folgt aus
(la):
(Ib)
ys(^, + 7s(y, =
- 7s(^ Fy, pF v
(p,v, p F v F -
- 1; z, ?/ > 0).

Diese Funktionalgleichung wäre sehr leicht zu lösen, wenn die Werte

3) Da jede Funktion der Gestalt F-dt) * F^t) für t > 0 stetig ist (G. Doetsch,
Die Integrodifferentialgleichungen vom Faltungstypus. Math. Ann. 89 (1923)
S. 192—207 [S. 194—196]), so folgt aus (I) die Stetigkeit unserer Funktionen
für t > 0. Ferner muß sich — ebenfalls wegen (I) — ihr Integral wenigstens
uneigentlich in den Nullpunkt erstrecken lassen (Das uneigentliche Integral
setzen wir als absolut konvergent voraus).