Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Charakterisierung einer in der mathematischen Physik auftretenden Schar usw. 11

/Zx -r Z2 \ < 'WH
=-2-'
Da aber /is(z) ebenso wie ys(2/z, /X) in der Variablen z stetig ist
(s. o.), so muß As(z) eine lineare Funktion sein4):
hs(z) = fsZ + gs,
also
ys{z^, fx) = fs • z/x + gs • /z.
Da sich aber jedes x > 0 in der Form z/z darstellen läßt, so gilt:
a) = /> + gsF-
Hieraus folgt, daß
n(x,^) = ±e^+£7sM
sein muß, wobei das Vorzeichen noch von /z, x und s abhängen
könnte:
cp^x, s) e-f»x~g^ = x, s),
wo £ nur die Worte + 1 und — 1 haben kann. Da die linke Seite
aber von x und v stetig abhängt, so kommt eine Abhängigkeit des e
von x und 5 nicht in Frage. £(/z, x, s) ist also eine Funktion höchstens
von /z, und aus (la) folgt sofort, daß e(/z, x, 5) = eJ* sein muß,
wo £ die Werte + 1 oder — 1 bedeuten kann.
Die Funktionen fs = f(s) und gs = g(s) können wir nun mit
Hilfe von (Ila) näher bestimmen. Danach muß nämlich gelten:
f(—'}ax+g(-V /j,
__ £/t £f(s')x+g(s') n
d. h.

m
+
g( - g(^) - lg^
\V/
W/

Da hierin x und /z beliebig sind, so kann nur sein:
~ = °’ ~ g(5) + lg* = °-

4) F. Bernstein und G. Doetsch, Zur Theorie der konvexen Funktionen.
Math. Ann. 76 (1915) S. 514—526. Hier wird allgemeiner gezeigt: Ist im Intervall
Zx z Z2 stets h 1 A ^[^(zi) + s0 ist entweder Ä(z) eine

stetige konvexe Funktion oder ihre Werte erfüllen das Gebiet oberhalb einer
solchen, bzw. den ganzen zum Definitionsintervall gehörigen Streifen überall
dicht. —Wird das Zeichen V durch A ersetzt, so erhält man einen entsprechen-
den Satz über konkave Funktionen. — Gilt durchweg das Zeichen =, so ergibt
beides zusammengenommen, daß die Funktion entweder eine stetige lineare
ist oder den ganzen Intervallstreifen überall dicht ausfüllt.