Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Situation der Untergruppen und Struktur der Gruppe. 13
dann und nur dann 11 und 23 in 2ß konjugiert, wenn <%(1X) und <x(23)
in a(2B) konjugiert sind.
Jede [einstufig] isomorphe Abbildung von 21 auf 23 induziert
auch eine situationstreue Abbildung von 21 auf 23, während das
Umgekehrte nicht der Fall ist x).
Die Struktur einer Gruppe ist durch ihre Situation bestimmt,
wenn jede situationstreu auf sie beziehbare Gruppe mit ihr iso-
morph ist. Dies ist sicher der Fall, wenn jede situationstreue Abbil-
dung durch einen Isomorphismus induzierbar, zu einem Isomor-
phismus erweiterbar ist. Die Umkehrung hiervon ist sicher nicht
immer richtig, wie folgendes Beispiel zeigt:
Es sei 21 = (a) X (&) das direkte Produkt zweier Zyklen von
Primzahlordnung p Ar 5. Dann ist die Struktur von 21 durch die
Situation der Untergruppen bestimmt * 2). Trotzdem ist die situa-
tionstreue Abbildung oc von 21, welche die Zyklen (ab2) und (ab3)
miteinander vertauscht, alle anderen Untergruppen sich selbst
zuordnet, durch keinen Automorphismus von 21 induzierbar.
Wir führen deshalb noch folgende verschärfte Begriffsbildung
ein: Ist K eine Klasse von Untergruppen von 21, so heißt die situa-
tionstreue Abbildung oc K-situationstreu, wenn sie in jeder Unter-
gruppe 11 aus K, deren Struktur bereits durch ihre Situation
bestimmt ist, zu einem Isomorphismus erweitert werden kann.
2. Ist oc eine situationstreue Abbildung von 2t auf 23, so gilt:
1. «({1}) ={1}, «(21) = ®;3)
2. oc definiert auch eine situationstreue Abbildung einer jeden
Untergruppe von 21;
3. dann und nur dann ist 2t Normalteiler von 2t, wenn oc (2t)
Normalteiler von 23 ist;
4. ist 2t Normalteiler von 2t, so induziert oc auch eine situations-
treue Abbildung von 2t/2t auf 23/a(2t);
5. ist die Struktur von durch die Situation der Untergruppen
bestimmt, so gilt dasselbe für das direkte Produkt der ^4)5);
ff Vgl. A. Rottländer, Math. Zeitschr. Bd.2S (1928), S. 641—653.
Im folgenden zitiert mit R. Situationstreu aufeinander beziehbare Gruppen
haben gleiche Situation, wie isomorph aufeinander beziehbare Gruppen gleiche
Struktur haben.
2) Nach R., Satz § 4, S. 647.
3) Hieraus folgt, daß die Bedingung b) entbehrlich wird, wenn 21 eine
endliche Gruppe ist.
4) Die Beweise dieser Eigenschaften 1.—5. folgen leicht aus der Definition
der situationstreuen Abbildungen, vgl. auch R.
5) Wie das Beispiel in Nr. 1 zeigt, kann es möglich sein, daß sich jede