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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0017
Arnold Scholz: Die Behandlung der zweistufigen Gruppe als Operatorengruppe. 17
deren sämtliche Untergruppen Normalteiler sind, läßt sich zu einem
Isomorphismus erweitern.
Die Voraussetzungen des Satzes in 5. sind erfüllt, und zwar
wegen 3., wenn die Untergruppe mit endlich viel Erzeugenden
HAMiLTONsch, wegen 4., wenn sie AbelscIi ist.
Wegen 2, 5 und 4. hat also jedes direkte Produkt beliebig
vieler, höchstens abzahlbarer Gruppen, deren sämtliche Unter-
gruppen Normalteiler sind, die Eigenschaft, daß ihre Struktur durch
ihre E-Situation bestimmt ist.
Nachtrag: In einer erst nach Niederschrift dieser Note erschiene-
nen Arbeit hat H. Ulm * 1) einen Satz bewiesen, aus dem man unter
Benutzung der hier entwickelten Hilfsmittel und der Prüfer-
schen2) Sätze über Produktzerlegung primärer abzählbarer
AßELscher Gruppen leicht folgern kann:
Die Struktur höchstens abzahlbarer Abelscher Gruppen, deren
sämtliche Elemente endliche Ordnung haben, und ebenso die Struktur
höchstens abzählbarer Hamiltonscher Gruppen ist durch die Si-
tuation der Untergruppen bestimmt.
Die Behandlung der zweistufigen Gruppe
als Operatorengruppe.
Von Arnold Scholz in Freiburg i. Br.
Gegeben sei eine endliche zweistufige Gruppe d. h. eine
Gruppe, die eine invariante AßELsche Untergruppe besitzt, nach
der die Faktorgruppe ®/2I selbst kommutativ ist. Bei vielen Unter-
suchungen kommt es nur auf die Beschaffenheit der Gruppe 21
und die Automorphismen in 21 an, die durch Transformationen mit
Elementen aus ® entstehen. In diesem Falle faßt man 21 als ver-
allgemeinerte AßELsche Gruppe1) auf, indem man die Elemente
von ® = @/2l als Operatoren einführt und As für 5_1 AS schreibt,
wenn S in @ der Bestklasse S mod 21 angehört, also S ein Element
von (5 ist2). Der Operatorenring besteht dann aus den Polynomen
P H. Ulm, Math. Ann. Bd. 107 (1933), Satz 12, S. 778.
2) A. a. 0., S. 45, § 10.
1) Bezeichnung von W. Krull, vgl. Math. Z. 23, S. 161.
2) Vgl. 0. Schreier, Erweiterung von Gruppen I, Monatsh. f. Math. u.
Phys. 34, S. 165. Die exponentielle Schreibweise der Operatoren bei multi-
plikativer Gruppe ist für die körpertheoretischen Anwendungen in der Regel
vorteilhafter.
Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie 1933, 2. 2
deren sämtliche Untergruppen Normalteiler sind, läßt sich zu einem
Isomorphismus erweitern.
Die Voraussetzungen des Satzes in 5. sind erfüllt, und zwar
wegen 3., wenn die Untergruppe mit endlich viel Erzeugenden
HAMiLTONsch, wegen 4., wenn sie AbelscIi ist.
Wegen 2, 5 und 4. hat also jedes direkte Produkt beliebig
vieler, höchstens abzahlbarer Gruppen, deren sämtliche Unter-
gruppen Normalteiler sind, die Eigenschaft, daß ihre Struktur durch
ihre E-Situation bestimmt ist.
Nachtrag: In einer erst nach Niederschrift dieser Note erschiene-
nen Arbeit hat H. Ulm * 1) einen Satz bewiesen, aus dem man unter
Benutzung der hier entwickelten Hilfsmittel und der Prüfer-
schen2) Sätze über Produktzerlegung primärer abzählbarer
AßELscher Gruppen leicht folgern kann:
Die Struktur höchstens abzahlbarer Abelscher Gruppen, deren
sämtliche Elemente endliche Ordnung haben, und ebenso die Struktur
höchstens abzählbarer Hamiltonscher Gruppen ist durch die Si-
tuation der Untergruppen bestimmt.
Die Behandlung der zweistufigen Gruppe
als Operatorengruppe.
Von Arnold Scholz in Freiburg i. Br.
Gegeben sei eine endliche zweistufige Gruppe d. h. eine
Gruppe, die eine invariante AßELsche Untergruppe besitzt, nach
der die Faktorgruppe ®/2I selbst kommutativ ist. Bei vielen Unter-
suchungen kommt es nur auf die Beschaffenheit der Gruppe 21
und die Automorphismen in 21 an, die durch Transformationen mit
Elementen aus ® entstehen. In diesem Falle faßt man 21 als ver-
allgemeinerte AßELsche Gruppe1) auf, indem man die Elemente
von ® = @/2l als Operatoren einführt und As für 5_1 AS schreibt,
wenn S in @ der Bestklasse S mod 21 angehört, also S ein Element
von (5 ist2). Der Operatorenring besteht dann aus den Polynomen
P H. Ulm, Math. Ann. Bd. 107 (1933), Satz 12, S. 778.
2) A. a. 0., S. 45, § 10.
1) Bezeichnung von W. Krull, vgl. Math. Z. 23, S. 161.
2) Vgl. 0. Schreier, Erweiterung von Gruppen I, Monatsh. f. Math. u.
Phys. 34, S. 165. Die exponentielle Schreibweise der Operatoren bei multi-
plikativer Gruppe ist für die körpertheoretischen Anwendungen in der Regel
vorteilhafter.
Sitzungsberichte der Heidelberger Akademie 1933, 2. 2