Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

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Arnold Scholz:

F(S) = F(S^ . . . Sn) in den Elementen . Sn einer Basis von
@, und zwar braucht man die Polynome sicher nur
mod 2k = (m, 5”11 — 1, . . . S™n — 1)
zu werten, wenn m die in 21 vorkommende Maximalordnung ist und
mv die Ordnung von Sv in
Durch passende Verschränkung 3) von 21 mit seinem Operatoren-
ring oder, besser, der Operatorengruppe ® gewinnt man @ wieder
zurück. Wir haben hier also eine ‘Entschränkung’ vorgenommen.
Die symbolische Ordnung eines Elementes A von 21, d. h. die
Gesamtheit aller Polynome die A in AH — E überführen,
ist ein Idealteiler § von 2k. Jeden Teiler § von 2k wollen wir einen
Kreismodul und den Restklassenring mod § einen Kreisring nennen,
in Analogie zu den Kreisgleichungen und Kreiskörpern. Wir heben
unter den Kreismoduln zuerst einmal die ‘direkten’ Kreismoduln
hervor, die außer von einer Zahl h von je einem Polynom in einer
der Variablen . . . Sn abhängen und besonders einfache Divi-
sionen gestatten: Ist ein direkter Teiler von §
so ist der Idealquotient § : d. h. die Gesamtheit der Polynome,
die mit jedem Polynom aus $ multipliziert in § liegen,
§ : g = D = (äk, . <?w),
wo h = fq und HV(SV) = FV(SV) ■ Qv. Dies habe ich in einer frühe-
ren Abhandlung4) für den Fall einer Primzahl h —l ausgeführt,
ohne daß diese Voraussetzung beim Beweis wesentlich war. Die Hv
sind hier auch zu h prim wegen Hv | S™v — 1. — Umgekehrt gilt
aber auch
Dies gewinnt man auf demselben Wege, indem man der Reihe nach
§ ■ (&, q) = •’ (£>', (?i) = £>i : (£»i> QJ = §2, • • • bildet.
Hierbei fällt & = (f, . . . #n); = (f, . . . F e, Hg+1, . . . Hn)
aus, und fQg ist das Ideal aller Polynome, die mit qQt. . . Qe multi-
pliziert in liegen:
= § • (& qQi - ■ ■ QeY
3) Bezeichnung von E. Noether, vgl. H. Hasse, Theory of cyclic algebras
over an algebraic number field. Transact. A. M. S. 34 (1932), S. 180,.
4) Über die Bildung algebraischer Zahlkörper mit auflösbarer Gruppe.
Math. Z. 30, ‘Modulsatz’, S. 336/37.