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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0019
Die Behandlung der zweistufigen Gruppe als Operatorengruppe.
19
Im weiteren wollen wir den Fall betrachten, daß die zwei-
stufige Gruppe ($ von Primzahlpotenzordnung ln ist, und beweisen,
daß dann nur Primärideale mit dem Primteiler
2 = (Z, ^-l,...^-!) = (Z, dx,. . . AJ
als symbolische Ordnungen in 21 auftreten. Für den Spezialfall
n = 2, § | (Z\ S{ — 1, Sl2 — 1) habe ich das schon in der Note:
„Über das Verhältnis von Idealklassen- und Einheitengruppe in
Abelschen Körpern vom Primzahlpotenzgrad“ 5) ausgeführt; für
n = 1 handelt es sich im wesentlichen um die Feststellung der be-
kannten Identität: (S — 1/ = Sl — 1 + l • F(S).
Wir nehmen an, die Gruppe 21 lasse sich etwa durch 5 Elemente
Ax, . . . As symbolisch erzeugen, in Zeichen
21 = [Ax, . . . As}@,
d. h. jedes Element von 21 lasse sich in der Form 7lAf°(s> schreiben,
als symbolisches Potenzprodukt in den Aa mit Exponenten aus dem
Operatorenring. Ist die Ordnung von ® eine Potenz der Primzahl
Z, so ist die symbolische Ordnung jedes Elementes A aus 21 ein
Teiler von
wenn lv die Z-Potenzordnung von Sv ist und lk die in 2t vorkommende
natürliche Maximalordnung. Dann läßt sich beweisen, daß der schon
oben definierte Modul ß der einzige Primteiler von 9k, 9k also ein
Primärideal ist, indem man zeigt, daß 2k | V für genügend hohes
t gilt6).
Es ist nämlich Alvv = 0 (Z, 9k) wegen Alvv = (Sv — 1/” == Slvv — 1
mod l. Hieraus folgt ••+*«. <• jh . . . ^n\ < h yyc\ unj
damit ß‘ = 0 (9k) für Z = k^lv.
Q ist somit der gemeinsame Primteiler aller in 21 vorkommenden
Ordnungen, und hieraus ergeben sich noch eine Reihe von Folge-
rungen :
1. Die symbolischen Potenzen AF eines Elementes A 4= E
sind dann und nur dann auch als Potenzen von AJ darstellbar,
wenn J 0(£), weil gerade dann die Kongruenz JJ' = 1 (9k)
lösbar.
Den Buchstaben J werden wir immer für Polynome außerhalb
5) Heidelbg. Akad.-Ber. 1930 Nr. 3.
6) Da es sich um Idealmoduln mit endlicher Restklassenzahl handelt,
sind diese drei Aussagen gleichgebeutend; vgl. v. d. Waerden, Moderne Al-
gebra § 86.
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Im weiteren wollen wir den Fall betrachten, daß die zwei-
stufige Gruppe ($ von Primzahlpotenzordnung ln ist, und beweisen,
daß dann nur Primärideale mit dem Primteiler
2 = (Z, ^-l,...^-!) = (Z, dx,. . . AJ
als symbolische Ordnungen in 21 auftreten. Für den Spezialfall
n = 2, § | (Z\ S{ — 1, Sl2 — 1) habe ich das schon in der Note:
„Über das Verhältnis von Idealklassen- und Einheitengruppe in
Abelschen Körpern vom Primzahlpotenzgrad“ 5) ausgeführt; für
n = 1 handelt es sich im wesentlichen um die Feststellung der be-
kannten Identität: (S — 1/ = Sl — 1 + l • F(S).
Wir nehmen an, die Gruppe 21 lasse sich etwa durch 5 Elemente
Ax, . . . As symbolisch erzeugen, in Zeichen
21 = [Ax, . . . As}@,
d. h. jedes Element von 21 lasse sich in der Form 7lAf°(s> schreiben,
als symbolisches Potenzprodukt in den Aa mit Exponenten aus dem
Operatorenring. Ist die Ordnung von ® eine Potenz der Primzahl
Z, so ist die symbolische Ordnung jedes Elementes A aus 21 ein
Teiler von
wenn lv die Z-Potenzordnung von Sv ist und lk die in 2t vorkommende
natürliche Maximalordnung. Dann läßt sich beweisen, daß der schon
oben definierte Modul ß der einzige Primteiler von 9k, 9k also ein
Primärideal ist, indem man zeigt, daß 2k | V für genügend hohes
t gilt6).
Es ist nämlich Alvv = 0 (Z, 9k) wegen Alvv = (Sv — 1/” == Slvv — 1
mod l. Hieraus folgt ••+*«. <• jh . . . ^n\ < h yyc\ unj
damit ß‘ = 0 (9k) für Z = k^lv.
Q ist somit der gemeinsame Primteiler aller in 21 vorkommenden
Ordnungen, und hieraus ergeben sich noch eine Reihe von Folge-
rungen :
1. Die symbolischen Potenzen AF eines Elementes A 4= E
sind dann und nur dann auch als Potenzen von AJ darstellbar,
wenn J 0(£), weil gerade dann die Kongruenz JJ' = 1 (9k)
lösbar.
Den Buchstaben J werden wir immer für Polynome außerhalb
5) Heidelbg. Akad.-Ber. 1930 Nr. 3.
6) Da es sich um Idealmoduln mit endlicher Restklassenzahl handelt,
sind diese drei Aussagen gleichgebeutend; vgl. v. d. Waerden, Moderne Al-
gebra § 86.