Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Die Behandlung der zweistufigen Gruppe als Operatorengruppe.

21

5. Ist 21 = aus einem Element A symbolisch erzeugbar,
so nennen wir 21 hypozyklisch. Entsprechend nennen wir in der
Galoisschen Theorie einen Relativkörper K/K^ hypozyklisch, wenn
Ko und K Normalkörper sind, 21 = {A}@ die Galoisgruppe von
K/Ko und dabei das Operatorensystem g die Gruppe von Ko ist.
Nach dem Ergebnis von 2. bedeutet das, daß K/Kq nur einen relativ
zyklischen Unterkörper Z-ten Grades besitzt, der absoluter Normal-
körper ist.
6. Ist dagegen K Normalkörper eines relativ zyklischen Körpers
K' IKq, so wollen wir von einem, hy per zyklischen Körper sprechen.
Für die zugehörige ‘hyperzyklische’ Gruppe gilt jedenfalls, daß sie
nur eine gegenüber g invariante Untergruppe der Ordnung l besitzt,
m. a. W.: daß das ‘Operatorzentrum’ G von 21 (der in 21 liegende
Zentrumsteil von ®) zyklisch ist. Die zu K' gehörige Untergruppe
5L von 21 muß nämlich zum Zentrum teilerfremd sein, damit X mit
seinen innerhalb ® konjugierten Untergruppen den Durchschnitt
E haben kann, was die Bedingung für K = N(K') ist. Und das ist
nur möglich, wenn G zyklisch ist, da ja 2I/S zyklisch sein soll. (Es
ist GSt ein direktes Produkt, das ^21!)
Das Umgekehrte gilt hier leider nicht: es kann nämlich sein,
daß jede zum Zentrum teilerfremde Gruppe 5L mit © erst eine echte
Untergruppe von 21 erzeugt (©$ 21) und zwar so, daß 2I/SS keines¬
falls zyklisch wird. Wir wählen folgendes
Beispiel: 21 = {A}@ mit Ord A = St = (Z3, l2 + IAV A'2). Diese
Ordnung kann vorkommen bei g = {5-J mit Ord Nx = Z2; denn
es ist hier 5 x — 1 = d1(Z2 + (2) zlx +•••)= 0 (St).
Eine gewöhnliche Basis für 21 wäre hier A± = A, A2 = Al+J1
mit den Ordnungen Z3 und Z. Das Zentrum
= {A^} = (ArlA2)
wird hier aus einem Element erzeugt, das weder eine Z-te Potenz ist,
noch in einer Basis von 21 auftreten könnte, wegen seiner Ordnung
l2. Daraus folgt aber, daß das Zentrum keine Untergruppe einer
zyklischen Restklassengruppe 2I/£ repräsentieren kann.
7. Daß es hypozyklische Gruppen gibt, die nicht hyperzyklisch
sind, haben wir eben gesehen. Ein einfacheres Beispiel wäre {H}@
mit Ord X == (/, zUf, zl, Zl2, Zlf); g = {5X, 52} mit Ord S = l.
Hier ist das Zentrum {zU1, Ad‘} nicht einmal zyklisch. Um-
gekehrt gibt es aber auch hyperzyklische Gruppen, die nicht hypo-
zyklisch sind, z. B.:
21 = {A1? A2}@ mit Ord A. = (Z, A'2, A2), Ord A2 = (l, Ax, A22).