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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0023
Bemerkungen zur algebraischen Geometrie.
23
definierende Gleichung einer irreduzibeln algebraischen Kurve,
so betrachtet Schmeidler neben dem Primhauptideal (p) das „Sin-
gular itätenideal“ c = (p, px, p^. c ist ein Produkt von endlich vielen
Primäridealen der Dimension 0, c = qx . . . qm, und die zu den qi
gehörigen Primideale pi = (x — oq, y — ßj liefern die sämtlichen
(im Endlichen liegenden) 3) singulären Punkte der Kurve (p) 4).
Das Primärideal qz selbst bzw. der zu q^ gehörige Restklassenring
$/qz — die „Singularitätengruppe“ q\ in Schmeidlerscher Be-
zeichnung -—- kann als charakteristische Invariante der im Punkte
p; liegenden Singularität angesehen werden. Es ist unmittelbar
klar, daß der Noethersche Auflösungsprozeß zu der ursprünglichen
„nullten“ Singularitätengruppe qf weitere endlich viele Serien von
Singularitätengruppen liefert, die als (nullte) Singularitätengruppen
von unendlich benachbarten Singularitäten gedeutet werden können.
Darüber hinaus hat Schmeidler den tiefer liegenden Satz bewiesen,
daß alle diese Invarianten — die Singularitätengruppen und erst
recht die aus den Singularitätengruppen berechenbaren Vielfach-
heitszahlen — in gewissem Sinne nur von dem „Typus“ der be-
trachteten Singularität abhängen5). Damit ist die Grundlage für
eine rein idealtheoretische Klassifizierung der ebenen algebraischen
Singularitäten geschaffen.
Schmeidler hat nun seine Ergebnisse von 2 auf n Dimensionen
ausgedehnt; dabei benutzt er an Stelle der quadratischen Trans-
formationen (1) ganz ähnlich gebaute Transformationen vom Typus
(2) x1 = x[, x{ =-(c{ + x'ß x[ (i=2,...n).
Die folgenden Bemerkungen beziehen sich ausschließlich auf diese
Schmeidler sehe Verallgemeinerung.
Schmeidler beschränkt sich im Polynomring = Volxi, • ■ • xn]
auf solche Primhauptideale (p), bei denen das Singularitätenideal
c = (p, pXi, . . . pXn) das Produkt von nulldimensionalen Primär-
idealen wird, d. h. er betrachtet (im n-dimensionalen Raume) nur
solche n — 1 dimensionalen Flächen, die im Endlichen nur endlich
viele singuläre Punkte besitzen. Unter dieser Voraussetzung läßt
sich leicht zeigen, daß ein gegebenes Primhauptideal (p) durch end-
3) Da wir mit Polynomen und nicht mit homogenen Formen arbeiten,
befinden wir uns geometrisch im affinen Gebiet!
4) Der Kürze halber identifizieren wir im Folgenden stets die Primideale
des Polynomrings geradzu mit den irreduzibeln algebraischen Gebilden, die
durch die Nullstellenmannigfaltigkeiten der Primideale dargestellt werden.
°) Die genaue Erklärung des Singularitätentyps folgt weiter unten.
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definierende Gleichung einer irreduzibeln algebraischen Kurve,
so betrachtet Schmeidler neben dem Primhauptideal (p) das „Sin-
gular itätenideal“ c = (p, px, p^. c ist ein Produkt von endlich vielen
Primäridealen der Dimension 0, c = qx . . . qm, und die zu den qi
gehörigen Primideale pi = (x — oq, y — ßj liefern die sämtlichen
(im Endlichen liegenden) 3) singulären Punkte der Kurve (p) 4).
Das Primärideal qz selbst bzw. der zu q^ gehörige Restklassenring
$/qz — die „Singularitätengruppe“ q\ in Schmeidlerscher Be-
zeichnung -—- kann als charakteristische Invariante der im Punkte
p; liegenden Singularität angesehen werden. Es ist unmittelbar
klar, daß der Noethersche Auflösungsprozeß zu der ursprünglichen
„nullten“ Singularitätengruppe qf weitere endlich viele Serien von
Singularitätengruppen liefert, die als (nullte) Singularitätengruppen
von unendlich benachbarten Singularitäten gedeutet werden können.
Darüber hinaus hat Schmeidler den tiefer liegenden Satz bewiesen,
daß alle diese Invarianten — die Singularitätengruppen und erst
recht die aus den Singularitätengruppen berechenbaren Vielfach-
heitszahlen — in gewissem Sinne nur von dem „Typus“ der be-
trachteten Singularität abhängen5). Damit ist die Grundlage für
eine rein idealtheoretische Klassifizierung der ebenen algebraischen
Singularitäten geschaffen.
Schmeidler hat nun seine Ergebnisse von 2 auf n Dimensionen
ausgedehnt; dabei benutzt er an Stelle der quadratischen Trans-
formationen (1) ganz ähnlich gebaute Transformationen vom Typus
(2) x1 = x[, x{ =-(c{ + x'ß x[ (i=2,...n).
Die folgenden Bemerkungen beziehen sich ausschließlich auf diese
Schmeidler sehe Verallgemeinerung.
Schmeidler beschränkt sich im Polynomring = Volxi, • ■ • xn]
auf solche Primhauptideale (p), bei denen das Singularitätenideal
c = (p, pXi, . . . pXn) das Produkt von nulldimensionalen Primär-
idealen wird, d. h. er betrachtet (im n-dimensionalen Raume) nur
solche n — 1 dimensionalen Flächen, die im Endlichen nur endlich
viele singuläre Punkte besitzen. Unter dieser Voraussetzung läßt
sich leicht zeigen, daß ein gegebenes Primhauptideal (p) durch end-
3) Da wir mit Polynomen und nicht mit homogenen Formen arbeiten,
befinden wir uns geometrisch im affinen Gebiet!
4) Der Kürze halber identifizieren wir im Folgenden stets die Primideale
des Polynomrings geradzu mit den irreduzibeln algebraischen Gebilden, die
durch die Nullstellenmannigfaltigkeiten der Primideale dargestellt werden.
°) Die genaue Erklärung des Singularitätentyps folgt weiter unten.