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https://doi.org/10.11588/diglit.43669#0036
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H. Kapferer: Über die diophantischen Gleichungen usw.
erste der 3 Gleichungen (10) in Betracht kommt, daß also s0 = 1
sein muß, d. h.
A + B = r3 — 3rs2 + ,$3
27? = 3rs (r — 5)
Hieraus ergeben sich unmittelbar genau diejenigen Ausdrücke
für A, B und C, von denen in Hilfsatz II die Rede ist. Letzterer
ist somit bewiesen, ebenso der Hauptsatz (A).
Wir wollen noch einige Folgerungen ziehen.
Auf Grund eines Satzes von Landau und Ostrowski haben
die Gleichungen
(11) z3-y2=c
bei festem ganzrationalem c stets nur endlich viele g. r. Lösungen.
Es war daher (und auch schon in alter Zeit) für viele Autoren ein
besonderer Reiz, auch wirklich alle Lösungen für spezielle c an-
zugeben, oder Werte von c ausfindig zu machen, für welche (11)
unmöglich ist. Näheres und ausführliche Literaturangaben bei
Nagell4). Auf Grund unseres Hilfsatzes II sind unendlich viele
weitere Werte von c unzulässig geworden. Die Zahl c muß z. B.
folgende Ungleichungen erfüllen:
c =h 33 ■ 22A; c =F 33 • 22A • /A+2; c =F 33 • 22Z (p?)2z+2,
wo p und q irgendwelche Primzahlen sind, 2^2; allgemein c =k 33
• 22Z • a2A+2, falls a eine solche g. r. Zahl ist, die zu keinem Paar teiler-
fremder g. r. Zahlen r, 5 in der Beziehung steht a2A+2 = rs(r — 5).
Dabei ist stets Voraussetzung, daß die zugehörigen Zahlen z, y
teilerfremd sind. Mit Beiziehung der berühmten KüMMERschen Er-
gebnisse zum Fermat-Theorem folgt aus Satz (L) unter anderem:
c 3= 33 ■ 2 22 • u2A+2 für beliebige ganz rationale a, falls nur (A + 1)
wenigstens einen Primteiler p besitzt aus dem Intervall 1 < p < 100.
In diesem Zusammenhang bekommt unter anderen auch ein
interessanter Satz von R. Fueter aus dessen oben genannter Ab-
handlung erhöhte Bedeutung: Die Gleichung z3 — ?/2 = c hat über-
haupt keine rationale Lösung, wenn folgende 4 Bedingungen er-
füllt sind:
c = 7 (mod 9); c =|= — 1 (mod 4); c ~ (mod 16); h 4= 0 (mod 3),
wobei unter h die Klassenzahl des Körpers A(|/— c) zu verstehen ist.
Wenn dieser Satz auch nicht direkt auf unseren Fall c = 33 • 2A-^z+_‘,
also nicht direkt auf die allgemeine Fermatsche Vermutung an-
4) M. T. Nagell (Oslo) „L’analyse indeterminee de degre superieur“, 1929
erschienen als „Memorial des Sciences mathematiques“, Paris, Heft 39.
H. Kapferer: Über die diophantischen Gleichungen usw.
erste der 3 Gleichungen (10) in Betracht kommt, daß also s0 = 1
sein muß, d. h.
A + B = r3 — 3rs2 + ,$3
27? = 3rs (r — 5)
Hieraus ergeben sich unmittelbar genau diejenigen Ausdrücke
für A, B und C, von denen in Hilfsatz II die Rede ist. Letzterer
ist somit bewiesen, ebenso der Hauptsatz (A).
Wir wollen noch einige Folgerungen ziehen.
Auf Grund eines Satzes von Landau und Ostrowski haben
die Gleichungen
(11) z3-y2=c
bei festem ganzrationalem c stets nur endlich viele g. r. Lösungen.
Es war daher (und auch schon in alter Zeit) für viele Autoren ein
besonderer Reiz, auch wirklich alle Lösungen für spezielle c an-
zugeben, oder Werte von c ausfindig zu machen, für welche (11)
unmöglich ist. Näheres und ausführliche Literaturangaben bei
Nagell4). Auf Grund unseres Hilfsatzes II sind unendlich viele
weitere Werte von c unzulässig geworden. Die Zahl c muß z. B.
folgende Ungleichungen erfüllen:
c =h 33 ■ 22A; c =F 33 • 22A • /A+2; c =F 33 • 22Z (p?)2z+2,
wo p und q irgendwelche Primzahlen sind, 2^2; allgemein c =k 33
• 22Z • a2A+2, falls a eine solche g. r. Zahl ist, die zu keinem Paar teiler-
fremder g. r. Zahlen r, 5 in der Beziehung steht a2A+2 = rs(r — 5).
Dabei ist stets Voraussetzung, daß die zugehörigen Zahlen z, y
teilerfremd sind. Mit Beiziehung der berühmten KüMMERschen Er-
gebnisse zum Fermat-Theorem folgt aus Satz (L) unter anderem:
c 3= 33 ■ 2 22 • u2A+2 für beliebige ganz rationale a, falls nur (A + 1)
wenigstens einen Primteiler p besitzt aus dem Intervall 1 < p < 100.
In diesem Zusammenhang bekommt unter anderen auch ein
interessanter Satz von R. Fueter aus dessen oben genannter Ab-
handlung erhöhte Bedeutung: Die Gleichung z3 — ?/2 = c hat über-
haupt keine rationale Lösung, wenn folgende 4 Bedingungen er-
füllt sind:
c = 7 (mod 9); c =|= — 1 (mod 4); c ~ (mod 16); h 4= 0 (mod 3),
wobei unter h die Klassenzahl des Körpers A(|/— c) zu verstehen ist.
Wenn dieser Satz auch nicht direkt auf unseren Fall c = 33 • 2A-^z+_‘,
also nicht direkt auf die allgemeine Fermatsche Vermutung an-
4) M. T. Nagell (Oslo) „L’analyse indeterminee de degre superieur“, 1929
erschienen als „Memorial des Sciences mathematiques“, Paris, Heft 39.