Sitzungsberichte der
Heidelberger Akademie der Wissenschaften

Körper, über denen jede Gleichung durch Radikale auflösbar ist.

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Bewertungsring und p das zugehörige Primideal. Die Galoisgruppe
von Mik werde mit G bezeichnet. Unter der Zerlegungs- bzw.
Tragheitsgruppe von WJk versteht man dann bekanntlich die größte
Untergruppe von G die p bzw. jede einzelne Restklasse von B/p
invariant läßt; unter dem Zerlegungs- bzw. Tragheitskörper von
W^k die Invariantenkörper dieser Gruppen. Es gilt:
a) Ein Zwischenkörper K zwischen k und M ist dann und nur
dann in M perfekt hinsichtlich JJ^, wenn er den Zerlegungskörper
von JE lk enthält 9).
b) Ist der Zerlegungskörper von I4^//c echter Oberkörper von
/c, so besitzt die Bewertung w von k mindestens zwei inäquiva-
lente Fortsetzungen auf M 10).
c) Jedes Element aus M ist über dem Trägheitskörper von
JElk durch Radikale darstellbar 11).
d) Der Trägheitskörper T von IJ^/A: ist bei der durch JE.
induzierten Bewertung mit k wertgleich, d. h. die Wertgruppe
von T bei JE stimmt überein mit der Wertgruppe von k bei w.
Insbesondere ist also T stets gleichzeitig mit k diskret bewertet12).
Der Begriff des Zerlegungs- und Trägheitskörpers kann leicht
auf einen separabel algebraischen Normalkörper N unendlichen
Grades über k und eine Bewertung JE von N ausgedehnt werden.
Zu diesem Zweck betrachte ich alle Zwischenkörper M zwischen
k und TV, die über k normal und von endlichem Grad sind. In jedem
solchen Körper M induziert JE eine Bewertung JE^, und man kann
gruppentheoretisch den Zerlegungs- bzw. Trägheitskörper von
JE./A: konstruieren. Den Vereinigungskörper aller dieser Zerlegungs-
bzw. Trägheitskörper nenne ich den Zerlegungs- bzw. Trägheits-
körper von JE/Zc.
J.
Der so definierte Zerlegungs- bzw, Trägheitskörper besitzt
alle Eigenschaften, die ich unter a) — d) für den Zerlegungs- bzw.
Trägheitskörper aus einem Normalkörper endlichen Grades an-
geführt habe. Für die Eigenschaften a) — c) ist das unmittelbar
klar, weil der Zerlegungs- bzw. Trägheitskörper aus N nach Defi-
9) Im Falle zweier Zahlkörper k und M ist dieser Satz wohlbekannt.
Im allgemeinen Fall kann er genau so bewiesen werden.
10) Vgl. W. Krull, loc. cit. 5) § 2.
1X) Vgl. W. Krull, loc. cit. 5) § 3. M. Deuring, § 5.
12) Vgl. W. Krull, loc. cit. 5) § 2.