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https://doi.org/10.11588/diglit.43715#0005
Der Kegelschnitt als Elementverein
5
geordnet. Diese Verwandtschaft ist im Falle einer allgemeinen
Kollineation vom Range 2 regulär und zwar im Falle
(ap) = 0
eine Involution. Für eine spezielle Kollineation vom Range
2 ist die Verwandtschaft singulär. Die Gerade g gehört selbst
dem Büschel durch den singulären Punkt an. Es wird also ihr,
und damit allen ihren Punkten, in der Projektivität zwischen
Büschel und Punktreihe ein bestimmter Punkt der Punktreihe
zugeordnet. Im Falle (ap) = 0 fällt dieser Punkt mit dem singu-
lären Punkt zusammen.
Eine Kollineation vom Range 1 erhält man durch Null-
setzen einer zerfallenden Bilinearform:
(2) («x) • (zz/j) = 0.
Jedem nicht auf der singulären Geraden a gelegenen Punkte x
wird der Punkt p zugeordnet. Im Falle («/?) = 0 liegt p auf a.
Nachdem wir so alle Typen singulärer symmetrischer Kolli-
neationen kennen gelernt haben, betrachten wir im Folgenden
Kegelschnitte als Örter solcher, invariant mit ihnen verbundenen,
Kollineationen.
2. Die reguläre Kurve 2. Ordnung als Ort singulärer
symmetrischer Kollineationen. Die mit dem regulären Kegel-
schnitt
(3) (ex)2 = 0
verbundene Polarität ordnet jedem Punkte x eine Polare u ver-
möge der Gleichungen
= Cn X1 —j— C12 X% ~p C13 X3 ,
(4) ' ZZ2 == Cgi ~F ^22 *^2 ^23 *^3 >
^3 = C31 ^1 H- ^32 X2 “F G3 Vi
zu. Die Figur eines Punktes x und einer Geraden 11 nennen wir
Paar. Als Koordinaten eines Paares betrachten wir die 9 Pro-
dukte UiXk. Genügen diese Koordinaten der Gleichung (zzx) = 0,
so ist das Paar ein Linienelement.
Den 002 Punkten x der Ebene entsprechend definieren die
Gleichungen (4) 002 Paare. Um diese <*>2Paare aus den 004 Paaren
der Ebene auszuscheiden, braucht man zwei Gleichungen. Daher
sind von den drei Gleichungen, die sich ergeben, wenn man die
zweireihigen Determinanten der aus ip, zz,, zz3 und den rechten
Seiten von (4) gebildeten Matrix gleich Null setzt:
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geordnet. Diese Verwandtschaft ist im Falle einer allgemeinen
Kollineation vom Range 2 regulär und zwar im Falle
(ap) = 0
eine Involution. Für eine spezielle Kollineation vom Range
2 ist die Verwandtschaft singulär. Die Gerade g gehört selbst
dem Büschel durch den singulären Punkt an. Es wird also ihr,
und damit allen ihren Punkten, in der Projektivität zwischen
Büschel und Punktreihe ein bestimmter Punkt der Punktreihe
zugeordnet. Im Falle (ap) = 0 fällt dieser Punkt mit dem singu-
lären Punkt zusammen.
Eine Kollineation vom Range 1 erhält man durch Null-
setzen einer zerfallenden Bilinearform:
(2) («x) • (zz/j) = 0.
Jedem nicht auf der singulären Geraden a gelegenen Punkte x
wird der Punkt p zugeordnet. Im Falle («/?) = 0 liegt p auf a.
Nachdem wir so alle Typen singulärer symmetrischer Kolli-
neationen kennen gelernt haben, betrachten wir im Folgenden
Kegelschnitte als Örter solcher, invariant mit ihnen verbundenen,
Kollineationen.
2. Die reguläre Kurve 2. Ordnung als Ort singulärer
symmetrischer Kollineationen. Die mit dem regulären Kegel-
schnitt
(3) (ex)2 = 0
verbundene Polarität ordnet jedem Punkte x eine Polare u ver-
möge der Gleichungen
= Cn X1 —j— C12 X% ~p C13 X3 ,
(4) ' ZZ2 == Cgi ~F ^22 *^2 ^23 *^3 >
^3 = C31 ^1 H- ^32 X2 “F G3 Vi
zu. Die Figur eines Punktes x und einer Geraden 11 nennen wir
Paar. Als Koordinaten eines Paares betrachten wir die 9 Pro-
dukte UiXk. Genügen diese Koordinaten der Gleichung (zzx) = 0,
so ist das Paar ein Linienelement.
Den 002 Punkten x der Ebene entsprechend definieren die
Gleichungen (4) 002 Paare. Um diese <*>2Paare aus den 004 Paaren
der Ebene auszuscheiden, braucht man zwei Gleichungen. Daher
sind von den drei Gleichungen, die sich ergeben, wenn man die
zweireihigen Determinanten der aus ip, zz,, zz3 und den rechten
Seiten von (4) gebildeten Matrix gleich Null setzt: